裂项公式的推导

5/6=1/2+1/3
11/12=2/3+1/4
19/20=3/4+1/5
……
109/110=9/10+1/11
所以原式可化为：
1/2+1/2+1/3+2/3+1/4+3/4+1/5+……+9/10+1/11
中间的都可以变成好几个1,你只要去算有几项就好了
分母是递增的,一个分母可以合成1个1,所以有10个分母,就是1*10+1/11
算出来答案是121/11

1/[a(a+1)]=[(a+1)-a]/[a(a+1)]=1/a-1/(a+1)

通项为（n+1-k)/[k*(k+1)*(k+2)]
=（n+1)/[k*(k+1)*(k+2)]-1/[(k+1)*(k+2)]
=（n+1)/[2k*(k+1)]-（n+1)/[2(k+1)*(k+2)]-1/(k+1)+1/(k+2）

所以n/1*2*3+(n-1)/2*3*4+…1/n*(n+1)(n+2)
=（n+1)/[2*1*(1+1)]-（n+1)/[2(n+1)*(n+2)]-1/(1+1)+1/(n+2）
=(n-1)/4+1/[2(n+2)]

裂项法
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
注意：余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的.
2余下的项前后的正负性是相反的.
一、基本概念
1、 数列的定义及表示方法：按一定次序排列成的一列数叫数列
2、 数列的项an与项数n
3、 按照数列的项数来分,分为有穷数列与无穷数列
4、 按照项的增减规律分为：递增数列,递减数列,摆动数列和常数列
5、 数列的通项公式an
6、 数列的前n项和公式Sn
7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：an=a1+(n-1)d
8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：an=a1·q^(n-1)
二、基本公式：
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= Sn-Sn-1
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项)
当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.
11、等差数列的前n项和公式：Sn=a1·n+1/2·n·(n+1)·d
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.
12、等比数列的通项公式：an= a1·q^(n-1) an= ak·q^(n-k)
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时,Sn=a1·(q^n-1)/(q-1)
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.
15、等差数列中,若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
16、等比数列中,若m+n=p+q,则 am·an=ap·aq
17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.
18、两个等差数列与的和差的数列{an+bn}仍为等差数列.
19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列
{an·bn}、{an/bn} 、{1/(an·bn)} 仍为等比数列.
20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；
四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3
四、数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.(关键是找数列的通项结构)
24、分组法求数列的和：如an=2n+3n
25、错位相减法求和：如an=n·2^n
26、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
27、倒序相加法求和：如an= n
28、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
29、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 a1>0,d

1/n*（n+1）*（n+2）=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

错位相减就是一个等差与一个等比相乘构成的新数列；其实等比数列的求和公式就是这样推导出来的,
裂项相消经典例题：
a(n)=1/[(n+1)*n]=1/n-1/(n+1);
所以s(n)=1-1/(n+1);

(1)1x2+2x3+3x4+4x5+...+2002x2003
=1/3*1*2*3+1/3[2*3*4-1*2*3]+1/3[3*4*5-2*3*4]+.+1/3[2002*2003*2004-2001*2002*2003]
=1/3*2002*2003*2004
=2678684008
(2)(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-1/4^2)……(1-1/2010^2)
=（1+1/2）（1-1/2)（1+1/3）(1-1/3)（1+1/4）(1-1/4)×……×（1+1/2010）(1-1/2010)
=3/2×4/3×5/4×……×2011/2010×1/2×2/3×3/4×……×2009/2010
=2011/2×1/2010
=2011/4020
(3)1/1*3+1/2*4+1/3*5+1/4*6+1/5*7.1/98*100+1/99*101
=（1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6+1/5-1/7+……+1/98-1/100+1/99-1/101）÷2
=（1+1/2-1/100-1/101）÷2
=15049/10100÷2
=15049/20200
(4)1/2+1/（2+4）+1/（2+4+6）+…1/（2+4+6+…+200）
=1/（1×2）+1/（2×3）+1/（3×4）+1/（100×101）
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/100-1/101）
=1-1/101
=100/101
(5)6分之1+12分之1+24分之1+48分之1+96分之1+192分之1
=1/6×（1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32）
=1/6×（1-1/32）
=1/6-1/192
=31/192
(6)(2²+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1）（2^32+1）
=（2^2-1)(2²+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1）（2^32+1)/(2^2-1)
=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^16+1）（2^32+1)/3
= (2^8-1)(2^8+1)(2^16+1）（2^32+1)/3
=(2^16-1)(2^16+1）（2^32+1)/3
=(2^32-11)(2^32+1)/3
=(2^64-1)/3
(7)1+1/（1+2）+1/（1+2++3）+……+1/（1+2+3+……+n)
=2*【1/2+1/2*（1+2）+1/2*（1+2++3）+……+1/2*（1+2+3+……+n)】
=2*【1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)】
=2*【1-1/（n+1)】
=2n/(n+1)

2^n=(2-1)*2^n
=2*2^n-2^n
=2^(n+1)-2^n
=[2^(n+1)-1]-(2^n-1)
所以(2^n)/{(2^n-1)[2^(n+1)-1]}
=[2^(n+1)-1]/{(2^n-1)[2^(n+1)-1]}-(2^n-1)//{(2^n-1)[2^(n+1)-1]}
=1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
所以相加=1/(2-1)-1/(4-1)+1/(4-1)-1/(8-1)+……+1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
=1-1/[2^(n+1)-1]
=[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]

错位相减法 适用于等比数列或者等差乘以等比数列
裂项求合法 适用于n(n+k)分之一可化简为1/k[1/n-1/(n+k)]之后就可以消了,注意k=1就是相邻的项消掉,k=2就间隔一项消掉.最常见的an=1/n-1/(n+1)和bn=1/n-1/(n+2)
分组求和 适用于等差加等比
叠乘 适用于an/an+1=f(n),比如an/an+1=n(/n+1),a1=1叠乘之后就得到an=n
叠加 适用于an+1-an=f(n),比如an+1-an=n,a1=1叠乘之后就得到an=1+n(n-1)/2

裂项法：
1/15+1/35+1/63+1/99+1/143+1/195
=1/2×（1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+1/9-1/11+1/11-1/13+1/13-1/15）
=1/2×（1/3-1/15）
=1/2×4/15
=2/15

错位相减,只要是一个等差和等比的乘积,就用错位

3/(6n-5)* [ 6（n+1）-5 ]
=3*1/6(1(6n-5)-1/ [ 6（n+1）-5 ]
=1/2*(1(6n-5)-1/ (6(n+1)-5)

1+2+2的平方+2的立方+.2的100次方
令s=1+2+2的平方+2的立方+.2的100次方
2s=2+2^2+2^3+.2^100+2^201
s=2s-s=2^201-1

通过观察可知2-1=1,3-2=1,4-3=1……即分母所拆成的2个因数差与分子相同,因此分数可整理成如下的过程
1/1×2=（2-1）/1×2=2/1×2-1/1×2=1-1/2,
1/2×3=（3-2）/2×3=3/2×3-2/2×3=1/2-1/3,
1/3×4=（4-3）/3×4=4/3×4-3/3×4=1/3-1/4,……
希望你能看明白,根据分数的运算法则,同分母分数相减,分母不变分子相减,把过程反过来就是上面的推理,然后再约分即可.
当然可以看出,如果是2/3×5裂项,可以按照同样的思路2=5-3：
2/3×5=（5-3）/3×5=5/3×5-3/3×5=1/3-1/5
3/8×11=（11-8）/8×11=11/8×11-8/8×11=1/8-1/11
因此若分子等于分母所拆成的两个因数差,就都可以按照这样的方式裂项,即
d/n（n+d）=1/n-1/n+d
如果不相同呢,我们也可以进行一定的转化,如1/1×3,此时3-1≠1,不能直接裂项,但是我们可以求出2/1×3=1-1/3,很明显,1/1×3是2/1×3的1/2,故1/1×3=1/2×（1-1/3）.同样的,再举一个例子,如果是4/5×11,此时11-5≠4,也可先求出6/5×11=1/5-1/11,那么4/5×11是6/5×11的2/3,因此4/5×11=2/3×（1/5-1/11）.
因此我们可以总结一下,对于任意的一个分数b/n（n+a）=b/a×【1/n-1/（n+a）】
个人想法,如若不太清楚,可留言,我们再讨论

原式=（3430/840-2640/840+2156/830-1820/840+1575/840-2660/840)×6 =41/840×6 =41/140

观察 看 是不是分式 能不能裂项 能的话相加能不能得出简单的结果
分组就是可以分别用公式求和的
给你个专业的
分组
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
例如：an=2^n+n-1
裂项
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项.
常用公式：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) ,1/（n-1）-1/n>1/n2>1/n-1/n+1（n≥2）一般形式
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/（√n+√（n+a））=1/a（√（n+a）-√n）

这个不能裂项的,只有形如1/(ab)=[1/(b-a)]×(1/a-1/b)

理论上,两个未知数,只需要两个方程便能解决.现在有三个方程,所以必有一个是恒等的.也就是说.解出的B有两个值B=m/k和B=p/n*k是相等的.否则无解!即不可裂项 你说的没有错!

你好!
数学之美团为你解答
（1）1/ [ n(n+k) ] = 1/k [ 1/n - 1/(n+k) ] ,k≠0
当k=1时,就是你那个公式
另一种形式 1/ (n+a)(n+b) = 1/(b-a) [ 1/(n+a) - 1/(n+b) ]
（2）1/ [ √n + √(n+k) ] = 1/k [√(n+k) －√n ]
或 1/ [ √(n+a) +√(n+b) ] = [ √(n+a) - √(n-b) ] / (a - b)
（3）1/[n(n+1)(n+2)] = 1/2 [ 1/ n(n+1) - 1/(n+1)(n+2) ]
（4）n*n! = (n+1)! - n! （注：! 表示阶乘）
（5） C(n,m-1) = C(n+1,m) - C(n,m)

你的转化是对的 1/2[1/1*2-1/2*3+1/2*3-1/3*4+...+1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]=1/2[1/2-1/(n+1)(n+2)]不知道你哪一项没约掉1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
求和=[1/(2-1)-1/(2²-1)+1/(2²-1)-1/(2³-1)+.1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1] =[1-1/[2^(n+1)-1]不需要分开

这种题,裂项也解决不了
直到大学学了傅里叶级数后,才好求,得到结果为
π的平方/6

算给你看看吧
2/8 + 3/8 + 7/16 + 15/32 + 31/64 + 63/128 + 127/256 + 255/512 + 511/1024
= (4-2)/8 + (4-1)/8 + (8-1)/16 + (16-1)/32 + (32-1)/64 + (64-1)/128
+ (128-1)/256 + (256-1)/512 + (512-1)/1024
= (1/2 - 1/4) + (1/2 - 1/8) + (1/2 - 1/16) + (1/2 - 1/32) + (1/2 - 1/64) + (1/2 - 1/128)
+ (1/2 - 1/256) + (1/2 - 1/512) + (1/2 - 1/1024)
= 9X(1/2) - (1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024)
= 9/2 - (256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1)/1024
= 9/2 - (512 - 1)/1024
= 9/2 - 1/2 + 1/1024
= 8/2 + 1/1024
= 4+ 1/1024

1/(6n-5)(6n+1) =1/6[1/(6n-5)-1/(6n+1)]

（2²/1*3）+（4²/3*5）+（6²/5*7）+.+[﹙2n﹚²/（2n-1）*（2n+1）]
=n+1/1*3+1/3*5）+1/5*7+.+1/（2n-1）*（2n+1）
=n+[1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+……+1/(2n-1)-1/(2n+1)]÷2
=n+[1-1/(2n+1)]÷2
=n+2n/(2n+1)÷2
=n+n/(2n+1)

我猜这个式子只是你计算综合题的一部分.^^你所给的Bn,只能进行裂项,进行了裂项之后无法相消,因为只有两项.裂项相消是需要很多项一起来化简的.裂项的公式可以写为：a/[(n)(n+b)]=a/b[1/n-1/(n+b)]所以,具体到你的题目...

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!

1.
(3+5+7+9+11)+1/10+1/(4*10)+1/(8*11)+1/(14*11)+1/(2*17*7)+1/(17*20)
=35+1/8+1/56+1/140
=35+1/8+1/(7*8)+1/(4*5*7)
=35 3/20
2.
1/(181*11)+1/(83*3*8)+1/1993+1/(2*997)+1/(7*15*19)+1/(4*499)+1/1997+1/(2*3*9*37)+1/1999+ 1/(4^2 *5^3)

汗.怎么修改题目了
【已经修改】
因为1+2+3+……+n=n(n+1)/2
所以1+1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+4……1/1+2+3+4……50
＝1＋2/2*3+2/3*4+……+2/500*6
＝1＋2/2*3+2/3*4+……+2/5050*5051
=1+2(1/2*3+1/3*4+……+1/5050*5051)
=1+2(1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/5050-1/5051)
=2又1/2525

x/3*5+x/5*7+.+x/2005*2007=1/9
1/2[(x/3-x/5)+(x/5-x/7)+...+(x/2005-x/2007)]=1/9
x/3-x/2007=2/9
(1/3-1/2007)x=2/9
x=2/9*2007/668=223/334

可追问,望采纳

倒序相加法（等差数列前n项和公式推导方法）
错位相减法（等比数列前n项和公式推导方法）
分组求和法
拆项求和法
叠加求和法
数列求和关键是分析其通项公式的特点
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.
12、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时,Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.
15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列.
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列.
25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.
26.在等差数列 中：
（1）若项数为 ,则
（2）若数为 则,,
27.在等比数列 中：
（1） 若项数为 ,则
（2）若数为 则,
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 >0,d

1/1*2+1/2*3..+1/19*20
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/19-1/20
=1-1/20
=19/20

比如1/1×2+1/2×3+1/3×4+……+1/9×10
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-……+1/9-1/10
中间的都消掉——
=1-1/10
=9/10
注：“/”为分数线

裂项求和,顾名思义就是,要把每一项拆开来咯～
先举个最简单的例子：
求和：1/2+1/6+1/12+1/20
不用计算器的～我们可以把原式变形
原式＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)
我们看1/(1*2)是不是就等于1-1/2,1/(2*3)是不是就等于1/2-1/3,自己可以去试一下,同理我们就可以得到
原式＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
把括号去掉,就可以削去中间项得到
原式＝1-1/5=4/5
这道题是解完了,可你一定会问,为什么可以这样做
我们把上面求和中用到的最重要的式子抽象出来就是这个式子：
1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
这个式子其实很好证,通分下就可以了～
所以,以后看到了每一项可以化成1/[n(n+1)]的形式的求和问题,就要多想想看看可不可以用裂项求和.
当然,上面的这个式子其实还是特殊情况,我们考虑,为什么分母上的两个式子之差只能是1,如果化成k会怎样～
其实也很简单,我们看显然1/[n(n+k)]是不等于1/n-1/(n+k),但有了前面的经验,我们知道肯定是要化成类似的形式,我们可以试着把1/n-1/(n+k)通分一下,我们发现得到k/[n(n+k)],哈,那不就是1/[n(n+k)]的k倍么,所以我们就得到如下等式：
1/[n(n+k)]＝(1/k)*[1/n-1/(n+k)]
有了这个通式,就可以解很多关于裂项求和的问题了～
最后再留一道题给你练习下吧～
求和：1/4+1/28+1/70+1/130+1/208
(答案：15/16)

如果n也是负数,那么没问题.如果n+k的值有正有负,不能使用此公式.

常用裂项形式有
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/n(n+k)=1/k*( 1/n-1/(n+k) )
例
1/1*4 + 1/4*7 +.+1/(3n-2)*(3n+1)
=1/3*(1-1/4+1/4-1/7+.+1/(3n-2)(3n+1)
=n/(3n+1)

把一项裂成两(或多)项,如:
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1,原式=1/2（1/2-1/4+1/4-1/6+1/6...+1/18-1/20）=9/40
2,1/11*13
3,第三题题目表述貌似不怎么清楚,我算的结果是 -11/18

1,√(n+1)-1,分母有理化,在运用简单的加减法答案就出来了.
2,2n/(n+1),将1/(1+2+…+n)转化成2/(n(n+1)),再转化成2(1/n-1/(n+1)),按此规律依次转化每一项答案就出来了.

=1/5+1/5(1/5-1/10)+1/5(1/10-1/15)+1/5(1/15-1/20)+1/5(1/20-1/25)
=1/5(1+1/5-1/10+1/10-1/15+1/15-1/20+1/20-1/25)
=1/5(1+1/5-1/25)
=29/125

1.an=1/[根号n+根号(n+1)]
=[根号(n+1)-根号n]/
{[根号(n+1)+根号n]*[根号(n+1)-根号n]
=[根号(n+1)-根号n]/[(n+1)-n]
=根号(n+1)-根号n
由于Sn=10
Sn
=a1+a2+...+an
=an+a(n-1)+...+a1
=[根号(n+1)-根号n]+[根号n-根号(n-1)]+...+根号2-根号1]
=根号(n+1)-1
=10
则:11=根号(n+1)
121=n+1
则:n=120
2.
70q^3+70=133q+133q^2
70(q^3+1)-133q(q+1)=0
70(q+1)(q^2-q+1)-133q(q+1)=0
(q+1)(70q^2-203q+70)=0
7(q+1)(5q-2)(2q-5)=0
则:q1=-1,q2=2/5,q3=5/2

1/(1×2)=1/1-1/2
1/(2×3)=1/2-1/3
.
1/x(x+1)=1/x-1/(x+1)
1/(1×2)+1/(2×3)+...1/[x×(x+1)]=1-1/(x+1)
原方程=3285/2668×[1-1/(x+1)]=1971/2001
1-1/(x+1)=1971×2668/(2001×3285)=（3³×73×2²×23×29)/(3×23×29×3²×5×73)=2²/5 =1-1/5
所以x+1=5
x=4

An=1/(4n^2-1)=1/2[1(2n-1)-1/(2n+1)]
Sn=1/2[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+...+(1(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[1-1/(2n+1)]=n/(2n+1)

这个 可以写成1/ab=（b-a）（1/a-1/b）
比如1/（n（n+2））=1/2(1/n-1/(n+2))
当然也有别的许多也可以..
但是从这个看出你应该是个初中生吧.所以 不要求掌握太多

1/(1x2x3x4)=1/3 x (4-1)/(1x2x3x4)=1/3(1/1x2x3 - 1/2x3x4)依次类推：1/(17x18x19x20)=1/3 x (20-17)/(17x18x19x20)=1/3(1/17x18x19 - 1/18x19x20)所以原式=1/1x2x3 - 1/18x19x20

给个题才能写啊