AE=1/3CCE在△ABC中AB=AC以BC为直径的半圆O于边AB交与点D切线DE垂直于AC垂足为点E求证△ABC是等

(1) 证明：连 OD、CD.
∵ DE与半圆O相切于D
∴ DE ⊥ OD （圆的切线垂直于过切点的半径）
∵ DE ⊥ AC （已知）
∴ OD ‖ AC （因OD与AC都与DE垂直）
∵ OD ‖ AC ,O为BC中点
∴ D为BA中点 （三角形中位线性质）
∴ BD = AD
∵BC是半圆O的直径
∴ ∠BDC = 90° （直径对的圆周角等于90°）
∴ CD ⊥ AB
∵ BD = AD （已证）
∴ CD垂直平分AB
∴ CA = CB （线段AB的垂直平分线上的点C到线段AB两端点的距离相等）
∵ AB = AC
∴ AB = AC = CB
∴ △ABC是等边三角形.
（2）证明：∵△ABC是等边三角形
∴ ∠A = 60°
∵ DE ⊥ AC
∴ ∠AED = 90°
在Rt△AED中,∠ADE = 90°-- ∠A = 90°-- 60°= 30°
∴ AE = 1/2 • AD (30°对的直角边等于斜边的一半)
而AD = 1/2 • AB
∴AE = 1/2 • AD = 1/4 • AB = 1/4 • AC
∴CE = AC -- AE = AC -- 1/4 • AC = 3/4 • AC
∴CE = 3AE
即 AE = 1/3 • CE
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