12x2+8x-3xy-2y ﹙x²＋1﹚²－4x﹙x＋1﹚＋4x²

解题思路：（1）f（x）在(

2

3

，+∞)上存在单调递增区间，即f′（x）＞0在(

2

3

，+∞)上有解，根据f′（x）的单调性，只要f′（x）_max＞0即可；
（2）当a=1时，f(x)＝−

1

3

x3+

1

2

x2+2x，利用导数求出其极值，端点处函数值，然后进行比较即可求得最值；

（1）f′(x)＝−x2+x+2a＝−(x−
1
2)2+
1
4+2a，
当x∈[
2
3，+∞)时，f′(x)的最大值为f′(
2
3)＝
2
9+2a，
令[2/9+2a＞0，得a＞−
1
9]，
所以，当a＞−
1
9时，f(x)在(
2
3，+∞)上存在单调递增区间；
（2）当a=1时，f(x)＝−
1
3x3+
1
2x2+2x，
f'（x）=-x²+x+2，令f'（x）=-x²+x+2=0得x₁=-1，x₂=2
因为f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减．
所以f（x）在[1，4]上的最大值为f(2)＝
10
3．
因为f(1)＝
13
6，f(4)＝−
16
3，
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f(4)＝−
16
3．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数在闭区间上的最值问题，正确理解导数与函数单调性的关系及准确求导是解决问题的基础．