在△ABC中，AD=2DC，E是BD上的一点，若AE=xAB+[2/7]AC，则实数x的值为

解题思路：如图，过点A作AF⊥DE．则△CDE∽△CAF，所以该相似三角形的对应边成比例：[CD/AC]=[DE/AF]=[1/3]，则AF=3DE；然后在直角△ABF中，利用勾股定理求得BF的值；最后由锐角三角函数的定义进行解答．

如图，过点A作AF⊥DE．
∵DE⊥BC，
∴DE∥AF，
∴△CDE∽△CAF，
∴[CD/AC]=[DE/AF]．
∵AD=2DC，
∴[CD/AC]=[DE/AF]=[1/3]，
∴AF=3DE．
∴在直角△ABF中，由勾股定理得到：BF=
AB2-AF2=
16DE2-9DE2=
7DE，
∴cotB=[BF/AF]=

7DE
3DE=

7
3．
故选：B．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题是由“平行线法”证得两个三角形相似的．

解题思路：如图，过点A作AF⊥DE．则△CDE∽△CAF，所以该相似三角形的对应边成比例：[CD/AC]=[DE/AF]=[1/3]，则AF=3DE；然后在直角△ABF中，利用勾股定理求得BF的值；最后由锐角三角函数的定义进行解答．

如图，过点A作AF⊥DE．
∵DE⊥BC，
∴DE∥AF，
∴△CDE∽△CAF，
∴[CD/AC]=[DE/AF]．
∵AD=2DC，
∴[CD/AC]=[DE/AF]=[1/3]，
∴AF=3DE．
∴在直角△ABF中，由勾股定理得到：BF=
AB2-AF2=
16DE2-9DE2=
7DE，
∴cotB=[BF/AF]=

7DE
3DE=

7
3．
故选：B．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义以及勾股定理．此题是由“平行线法”证得两个三角形相似的．

解题思路：（Ⅰ）因为BC=AC，所以∠A=∠ABC，由cos∠ABC=[1/3]，结合二倍角公式，可得cos²[A/2]=[2/3]，利用sin∠ADB=sin（[π/2]-[A/2]）=cos[A/2]，可求sin∠ADB；
（Ⅱ）两次运用余弦定理，建立方程，即可求BC的长．

（Ⅰ）因为BC=AC，所以∠A=∠ABC，
因为AB=6，所以AD=[2/3]AC=[2/3]×[AB/2cos∠ABC]=6．
于是AB=AD．
因为cosA=2cos²[A/2]-1=[1/3]，所以cos²[A/2]=[2/3]，
又[A/2]∈（0，[π/2]），所以sin∠ADB=sin（[π/2]-[A/2]）=cos[A/2]=

6
3．…（6分）
（Ⅱ）设BC=a，AD=2DC=2m．
在△ABC中，由余弦定理得9m²=36+a²-2×6a×[1/3]，
即9m²=36+a²-4a．①
由∠BDA与∠BDC互补知，cos∠BDA+cos∠BDC=0．
再由余弦定理得
BD2+AD2-AB2
2BD•AD+
BD2+CD2-BC2
2BD•CD=0，
即
48+4m2-36
16
3m+
48+m2-a2
8
3m=0，化简得3m²=a²-54．②
由①②解得a²+2a-99=0，a=9或a=-11（舍去）．
故BC=9．…（12分）

点评：
本题考点： 余弦定理的应用．

考点点评： 本题考查余弦定理的运用，考查二倍角公式，正确运用余弦定理是关键．

∠A=∠DBC．
证明：过点D作DE⊥AB于E．
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵AD=2DC，
∴AD=2DE，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=
1
2 ∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBC．

1年前

解题思路：首先由△ABC是边长为12的等边三角形，即可得∠A=∠ACB=60°，AB=12，又由CE是外角平分线，求得∠ACE=∠A=60°，又由∠ADB=∠CDE，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABD∽△CED，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．

∵△ABC是边长为12的等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=12，
∴∠ACF=180°-∠ACB=120°，
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=[1/2]∠ACF=60°，
∴∠A=∠ACE，
∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED，
∴[AB/CE＝
AD
CD]，
∵AD=2DC，
∴AB=2CE，
∴CE=[1/2]AB=6．
故答案为：6．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与等边三角形的性质，以及角平分线的定义．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例是解此题的关键．

◆题中字母有误,把"∠DCA=45°"改为:"∠DCB=45°".
证明:(1)连接CF,OC.
∵∠BFC=∠ADB=60°(均为∠BDC的补角);
OF=OC.
∴⊿OCF为等边三角形,∠OCF=∠COF=60°;
又BF为直径,∠BCF=90°,则:∠OCE=∠BCF-∠OCF=30°;
而∠DOC=2∠DBC=2(∠ADB-∠DCB)=2(60°-45°)=30°;
∴∠DOC=∠OCE,得CE=OE.
(2)连接DF.BF为直径,则∠BDF=90°;又∠DFB=∠DCB＝45°.
∴∠DBF=∠DFB=45°,DB=DF;又OB=OF.
∴OD垂直BF;又OB=OC,则∠OBC=∠OCB=(1/2)∠COF=30°.
∴BE=2OE=2CE,即CE:CB=1:3;又AD=2CD,CD:CA=1:3;∠DCE=∠ACB.
∴⊿DCE∽⊿ACB,得∠DEC=∠ABC.
故DE平行AB,∠ABO=∠DOF=90度,即AB为圆O的切线.

（Ⅰ）因为BC=AC，所以∠A=∠ABC，
因为AB=6，所以AD=[2/3]AC=[2/3]×[AB/2cos∠ABC]=6．
于是AB=AD．
因为cosA=2cos²[A/2]-1=[1/3]，所以cos²[A/2]=[2/3]，
又[A/2]∈（0，[π/2]），所以sin∠ADB=sin（[π/2]-[A/2]）=cos[A/2]=

6
3．…（6分）
（Ⅱ）设BC=a，AD=2DC=2m．
在△ABC中，由余弦定理得9m²=36+a²-2×6a×[1/3]，
即9m²=36+a²-4a．①
由∠BDA与∠BDC互补知，cos∠BDA+cos∠BDC=0．
再由余弦定理得
BD2+AD2−AB2
2BD•AD+
BD2+CD2−BC2
2BD•CD=0，
即
48+4m2−36
16
3m+
48+m2−a2
8

作AF⊥BC于点F,则有DE∥AF．
∵AD=2DC,
∴CD：AC=1：3=DE：AF,
∴AF=3DE．
∵AB=4DE,
∴sinB= AFAB= 3/4

1D 过A向BC做垂直线交于点O由于△AOC相似于△DEC所以AO:DE=AC:DC=3:1又AB=4DE 所以AB=4/3AO所以sinB=AO/AB=3/4
2.1/4 过程我可以在线给你说

1、,∠B=60° → BC/AC=1/根号3 AC=AD+DC=3DC → BC/3DC=1/根号3 →角DBC=60° → tan∠ABD =tan30°
2、由题目知道 15g A 和5g C 反应生成了11g B 和D
根据质量守恒原理 D 为9g ,同样的原理,反应物和生成物的质量之比为1：1

解题思路：过点D作DE⊥AB于E，关键角平分线性质得出DE=CD，推出AD=2DE，推出∠A=30°，求出∠DBC=30°，即可得出答案．

∠A=∠DBC．
证明：过点D作DE⊥AB于E．
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵AD=2DC，
∴AD=2DE，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=[1/2]∠ABC=30°，
∴∠A=∠DBC．

点评：
本题考点： 角平分线的性质；含30度角的直角三角形．

考点点评： 本题考查了角平分线性质和三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠A=30°，题目比较好，难度适中．

取AD中电F,即AF=DF=DC
因为DB平分∠ADC
所以∠ADB=∠BDC
又因为BD=BD,DF=DC
所以三角形BDF与BDC全等
所以BF=BC=CE,∠BFD=∠BCD即∠BFA=∠DCE
因为AF=DC,∠BFA=∠DCE,BF=CE
所以三角形ADB与DCE全等
所以AB=ED

解题思路：先求出cos∠ABC=13，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得9b2＝a2+4−43a；由∠ADB与∠CDB互补，可得3b2-a2=-6，即可得出结论．

∵sin[∠ABC/2]=

3
3，
∴cos∠ABC=[1/3]，
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得9b2＝a2+4−
4
3a①，
∵∠ADB与∠CDB互补，
∴cos∠ADB=-cos∠CDB，
∴
4b2+
16
3−4

16
3
3b＝−
b2+
16
3−a2

8
3
3b，
∴3b²-a²=-6②
解①②得a=3，b=1，
∴BC=3．
故答案为：3．

点评：
本题考点： 余弦定理的应用．

考点点评： 本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

一.证明：在△EBC与△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
　　∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0（积化和差）　　
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0（重新分组并提取公因式）　
　→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0（和差化积）　　
∴sin[(β-γ)/2]＝0
二.△ABC中,BD,CE是角平分线,BD＝CE；
则BC×BA－DC×DA＝CB×CA－EB×EA
即BC×（BE＋AE）－DC×DA＝CB×（CD＋AD）－EB×EA
而BC×AD＝BA×CD,CB×AE＝CA×BE
整理得BC×BE＋（CD＋DA）×BE－DC×DA＝CB×CD＋（BE＋EA）×CD－EB×EA
移项并因式分解得（BE－CD）（BC＋EA＋DA）＝0
因此BE＝CD
此时易证AB＝AC
三.设三角形$ABC$中,$BC=a$,$CA=b$,$AB=c$,而$BD$和$CE$为两条内角平分线,则
$BD^2=ab(1-c^2/(a+b)^2)$,
$CE^2=ac(1-b^2/(a+c)^2)$,
因为$BD=CD$,所以
$ab(1-c^2/(a+b)^2)-ac(1-b^2/(a+c)^2)=0$,
上式两边除以$a$,通分后,对分子进行因式分解,则得到分子为
$(b-c)(a+b+c)(a^3+(a^2+bc)(b+c)+3abc)$,
所以只能$b-c=0$,命题得证.
四,设三角形ABC,角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2βAC,这样∠ACB>∠ABC,从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF.
在△BCF和△CBE中,因为BC=BC,BE=CF,∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE.(1)
作平行四边形BEGF,则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF,连CG,
故△FCG为等腰三角形,所以∠FCG=∠FGC.
因为∠FCE>∠FGE,所以∠ECGEG=BF.(2)
显然(1)与(2)是矛盾的,故假设AB≠AC不成立,于是必有AB=AC.
证法二 在△ABC中,假设∠B≥∠C,则可在CF上取一点F',使∠F'BE=∠ECF',这有CF≥CF'.
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中,由A'B≥A'C,得:
∠A'CB≥∠A'BC,即∠C≥(∠B+∠C)/2,故∠B≤∠C.
再由假设∠B≥∠C,即有∠B=∠C.
所以△ABC为等腰三角形.
七,　　2cosα/BE=1/BC+1/AB
　　2cosβ/CD=1/BC+1/AC
　　若α>β 可推出AB>AC矛盾!
　　若α

1.因为在三角形ABC中,cosC=2√7/7,cos∠DBC=5√7/14
则∠C和∠DBC都是锐角
所以由三角函数基本关系式得：
sinC=√21/7,sin∠DBC=5√7/14＝√21/14
在三角形BCD中,∠BDC=180°-∠C-∠DBC
则cos∠BDC=cos(180°∠C-∠DBC)
=-cos(∠C+∠DBC)
=－cos∠C*cos∠DBC+sin∠Csin∠DBC
=-(2√7/7)*(5√7/14)+(√21/7)*(√21/14)
=-5/7 +3/14
=-1/2
所以得∠BDC=120°
2.因为|AD|=2|DC|,所以|AC|=3/2 *|AD|,|DC|=|AD|/2
因为|AB|=2,cosC=2√7/7,cos∠DBC=5√7/14
所以在三角形ABC中,由余弦定理得：
|AB|²=|BC|²+|AC|²-2|BC|*|AC|*cosC
则4=|BC|²+9/4 *|AD|²-3|BC|*|AD|*(2√7/7) (*)
在三角形BCD中,由正弦定理得：
|CD|/sin∠DBC=|BC|/sin∠BDC
由第1小题知sin∠DBC=√21/14,∠BDC=120°,且|DC|=|AD|/2
所以(|AD|/2)/(√21/14)=|BC|/sin120°
化简整理可得：|BC|=(√7/2)*|AD|
将上式代入(*)式得：
4=(7/4)*|AD|²+(9/4)*|AD|²-3(√7/2)*|AD|*|AD|*(2√7/7)
化简得|AD|²=4
所以|AD|=2,|BC|=(√7/2)*|AD|=√7
又向量AD与向量CB的夹角就是内角∠C的补角
所以数量积向量AD点乘CB
=|AD|*|CB|*cos(180°-∠C)
= - |AD|*|CB|*cos∠C
= - 2*√7*2√7/7
=-4

证明：1、因为直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,所以∠ABC=60°；又BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=30°；所以在RT△BCD中BD=2CD,△ABD是等腰△且AD=BD；所以AD=2DC.
2、依题意知,△ABC是等边△,所以角C=60°,CD=2CE,BC=2CD=4CE=AC.
3、是.由题意知,AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,所以△EAD≌△FAD,所以DE=DF,故证.

设AC=b,AD=2b/3,DC=b/3,BC=a
由题意：在△ABC中,a² = b² + 3² - 2*3*b cos A ==> a²-9=b²- 6b cosA 式1
b² = a² + 3² - 2*3*a cos B ==> b² = a² + 9 - 3a 式2
将式2,代入式1,可以得出：a=6-2b cosA ==>b cos A = 3-a/2 式3
在△ABD中,(√21)² = (2b/3)² + 3² - 2*3*(2b/3) cos A ==>
27 =b² - 9b cosA 式4
将式2、式3 代入式4,有a² + 9 - 3a -9(3-a/2) =27 ==> 2a² + 3a - 90 =0
==>(2a-15)(a-6)=0
解此一元二次方程,可得a1=7.5,a2=6.
验证：当a=7.5时,b≈6.54,满足三角形两边和大于第三边.
当a=6时,b=3√3 ≈5.2,满足三角形两边和大于第三边.
所以两个值应该都OK.

设CD=m ∠ADB=a
sin(∠ABC/2)=根号3/3 cos(∠ABC/2)=根号6/3
sin∠ABC=2sin(∠ABC/2)cos(∠ABC/2)=2根号2/3
cos∠ABC=1/3
由余弦定理 cosa=(4x^2+16/3-4)/(16√3m/3)
cos(180°-a)=-cosa=(x^2+16/3-BC^2)/(8√3m/3)
两式相加4x^2+16/3-4+2x^2+32/3-2BC^2=0
3x^2=BC^2-6 (1)
又由余弦定理AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcos∠ABC
9x^2=4+BC^2-4BC*1/3
27x^2=12+3BC^2-4BC (2)
联立(1)(2) BC=15/2
三角形DBC的面积=(1/2)AB*BCsin∠ABC
=(1/2)*2*(15/2)*2√2/3
=5√2

作EK//AC交BD,BC于K,M
EK=1/4AD=1/2CD
EF=1/3EC
以下线段均为向量
AF=3/4AB+1/3EC
EC=AC-3/4AB
AF=1/2AB+1/3AC
X=1/2,Y=1/3