和差倍分问题等量关系式

①如果是线段BCD,
AB=AD+BD
=CD+BD
=BD-BC+BD
=2BD-BC
=2×7-6
=14-6
=8
AC=2CD
=2(BD-BC)
=2(7-6)
=2
②如果是线段DBC
AB=AD+DB
=CD+DB
=DB+BC+DB
=2DB+BC
=2×7+6
=20
AC=2DC
=2(DB+BC)
=2(7+6)
=26

1）红星机械厂有三个车间,第一车间人数是二三车间人数总和的1/2,第二车间人数是一三车间人数总和的1/3,第三车间有105人,求工人总数.
∵第一车间人数是二三车间人数总和的1/2 ∴第一车间人数是总人数的 1/（1+2）=1/3
∵第二车间人数是一三车间人数总和的1/3 ∴第二车间人数是总人数的1/（1+3）=1/4
所以第三车间的人数占总人数的 1- 1/3 - 1/4 =5/12
总人数为 105 ÷ （5/12） =252人
2）甲桶中的水比乙桶多1/5,丙桶中水比甲桶少1/5.请问乙丙哪桶水多?把三桶水倒进一个大缸,甲桶水占几分之几?
∵甲桶中的水比乙桶多1/5 ∴乙桶占甲桶的 6/5
∵丙桶中水比甲桶少1/5 ∴丙桶占甲桶的 4/5
所以,乙桶多.
甲桶水占 5/（5+4+6）=1/2
3）阿奇和小悦都有科普书.阿奇的科普书数量是小悦3/8,小悦送给阿奇11本书后,阿奇科普书数量就变成了小悦的4/7,原来阿奇比小悦少多少本书?
送以前,阿奇的科普书数量是总书的 3/ （3+8） = 3/11
送以后,阿奇的科普书数量是总书的 4/（4+7）= 4/11
所以 书总数 为 11 ÷ （4-3）/11 = 121 （本）
所以原来 阿奇的科普书数量是 121 X 3/11 = 33
小悦的科普书数量是 121 X （11-3） /11 = 88
所以 阿奇比小悦少 88-33=55本书

和差问题的公式
(和＋差)÷2＝大数
(和－差)÷2＝小数
和倍问题
和÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或者 和－小数＝大数)
差倍问题
差÷(倍数－1)＝小数
小数×倍数＝大数
(或 小数＋差＝大数)
在一些数学问题中要讨论年龄的变化和几个人的年龄的关系,我们知道随着时间的往后或往前推移,人的年龄就会增加或减少,如果有几个人,时间往后推移,几个人年龄的和随着年数增加而增加年数的几（按人数）倍,但这几个人年龄间的差却是不变的.在解答有关年龄变化的问题时这是必须牢记的.
例2：小芬家由小芬和她的父母组成,小芬的父亲比母亲大4岁,今年全家年龄的和是72岁,10年前这一家全家年龄的和是44岁.今年三人各是多少岁?
一家人年龄的和今年与10年前比较增加了72－44=28（岁）,而如果按照三人计算10年后应增加3×10=30（岁）,只能是小芬少了2岁,即小芬8年前出生,今年是8岁,今年父亲是（72－8＋4）÷2=34（岁）,今年母亲是34－4=30（岁）.
答：今年父亲34岁,母亲30岁,小芬8岁.

李叔叔买了一相苹果，和两箱梨已知苹果是40个梨是120个梨是苹果的几倍

差倍问题
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含义：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系,求出两数.
公式：差÷（倍数－1）=小数；小数+差或小数×倍数=大数.
目录
1引示例
2例题
1引示例
示例：已知X、Y,X-Y=8,且X是Y的3倍,求X、Y.
Y=8÷（3-1）=4；X=4×3=12.
2例题
1、李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍,如果两个人各再生产20个,那么李师傅生产零件的个数是徒弟的4倍,两人原来各生产零件多少个?
20*6-20是6份和4份的差除以6份和4份的份数差求出的是50.
问为什么这个值不是原来1份徒弟的,而是加了20以后徒弟的.
应该这么想,徒弟是1份,师傅是6份.这是6倍关系.
徒弟是1份+20,师傅是6份+20.这是4倍关系.
在4倍关系中,师傅比徒弟多多少,应该是（6份+20）-（1份+20）=原来的5份.也是现在的3份.
现在的3份=（原来的1份+20）*3
=原来的3份+60
再和原来的5份一比,60个零件是2份,
30个零件是1份.
李师傅生产的零件180个,徒弟是30个.
2、某班买来单价为0.5元的练习本若干,如果将这些练习本只给女生,平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生,平均每人可得10本.那么,将这些练习本平均分给全班同学,每人应付多少钱?
男生,平均每人可得10本,这两句话说男生多.
女生每人交15*0.5=7.5元
男生每人交10*0.5=5.0元
根据15 10,可得男女比例为 3：2. 女生占 2/5 ,男生占3/5.
[7.5*3/5+5.0*2/5]/1=6元
这些练习本平均分给全班同学,每人应付6元
很遗憾,以上计算是错误的
根据15,10,得出男女生比例是15：10.假设男生为15份,女生为10份.则总本数为15×10=150
0.5×150÷（15+10）=3元.正确答案为3元.

随随和周周约好1个小时后到周周家去玩,她骑车从家出发半个小时后发现时间不够了便将速度提高到原来的2倍,半个小时后准时到达周周家,已知两家相距30千米,求随随原来的速度（画出路程示意图,设未知数列方程并估算问题的解

倍数问题,请一定好画好线段图；
乙画成1份长,
甲可以有两种表示：4份则差8元,3份则多24元；
24+8＝32（元）,则正好对应4－3＝1份,也就是乙的钱.
综合列式：(24+8)÷(4-3)=32÷1=32(元)
那么甲有：
32*4－8＝120（元）或者32*3+24＝120（元）

差倍问题的解题步骤：1倍数=差/（倍数-1）
和倍问题的解题步骤：1倍数=和/（倍数+1）
求出了1倍数,然后用乘法求出几倍的数.

如果从甲班调2人到乙班,那么这两个班的人数就想等了,说明甲班比乙班多4人
如果从乙班调15人到甲班,甲班比乙班多15+15+4=34人,这时,甲班人数是乙班的2倍,说明这时乙班有34人,原来乙班有：34+15=49（人）
原来甲班有：49+2+2=53（人）

1.设二车间原有x人,则
150-x-15=x+15
x=60
二车间原有60人
2.设A帐篷有x顶,那么B帐篷有（600-x)顶,则
1700x+1300*(600-x)=940000
17x+7800-13x=9400
4x=1600
x=400
A帐篷有400顶,那么B帐篷有200顶.

和倍一套办公桌椅的价钱是228元,一张办公桌的价钱是已自动3呗,一张办公桌和一把椅子个多少元?2.建筑工地运来水泥和沙子共300吨,其中运来水泥的重量是沙子的4被还多30吨,共运来水泥和沙子多少吨? 3.学校买来篮球和足球共27个,其中篮球的个数比足球的、个数的2倍少3个.学校买来足球和篮球共多少个? 4.师傅和徒弟同时加工320个零件,4小时后全部完工,已知师傅的工作效率是徒弟的3倍,师傅和徒弟每小时各加工多少零件? 5.小明和小红都是集邮爱好者,小明集了76张邮票,小红集了50张邮票.小明送给小红几张后,小红的邮票数是小明的2倍?1题:椅子:228÷(1+3)=57(元)
办公桌:228-57=171(元)或57×3=171(元) 2题:沙子:(300-30)÷(1+4)=54(吨)
水泥:300-54=246(吨) 3题:足球:(27+3)÷(1+2)=10(个)
篮球:27-10=17(个) 4题:师徒二人一小时加工几个:320÷4=80(个)
徒弟每小时几个:80÷(1+3)=20(个)
师傅每小时几个:80-20=60(个) 5题:先求小红的邮票数是小明的2倍时,小明应该是几张:(76+50)÷(1+2)=42(张)
再求小明应该给小红几张:76-42=34(张)差倍例1 甲班的图书本数比乙班多80本,甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?分析把乙班的图书本数看作1倍,甲班的图书本数是乙班的3倍,那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80本”,即2倍与80本相对应,可以理解为2倍是80本,这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本.　　①乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）　　②甲班的本数： 40×3=120（本）　　或40＋80=120（本）.　　验算：120-40＝80（本）　　120÷40=3（倍）答：甲班有图书120本,乙班有图书40本.例2 菜站运来的白菜是萝卜的3倍,卖出白菜1800千克,萝卜300千克,剩下的两种蔬菜的重量相等,菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克?分析 这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克,萝卜300千克后,剩下两种蔬菜的重量正好相等”,说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍）,这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克,再求运来的白菜是多少千克.　　①运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）　　②运来白菜： 750×3=2250（千克）　　验算：　　2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）　　750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）　　答：菜站运来白菜2250千克,萝卜750千克.例3 有两根同样长的绳子,第一根截去12米,第二根接上14米,这时第二根长度是第一根长的3倍,两根绳子原来各长多少米?分析两根绳子原来的长度一样长,但是从第一根截去12米,第二根绳子又接上14米后,第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍,而12+14=26（米）,正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以,当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了,那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了.　　①第一根截去12米剩下的长度：　　（12+14）÷（3-1）＝13（米）　　②两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）　　答：两根绳子原来各长25米.例4 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来,三（1）班又买来新书74本,三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学,这时,三（1）班图书是三（2）班的3倍,求两班原有图书各多少本? 　　①后来三（1）班比三（2）班图书多多少本?74＋96=170（本）　　②三（2）班剩下的图书是多少本?170÷（3-1）=85（本）　　③三（2）班原有图书多少本?　85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）　　综合算式：　　（74＋96）÷（3-1）＋96　　＝170÷2+96　　＝85＋96　　=181（本）　　验算：181+74=255（本）181-96=85（本）255÷85=3答：两班原来各有图书181本.例5 两块同样长的花布,第一块卖出31米,第二块卖出19米后,第二块是第一块的4倍,求每块花布原有多少米? 　　①第二块布比第一块布多剩多少米?31-19＝12（米）　　②第一块布剩下多少米?12÷（4-1）=4（米）　　③第一块布原有多少米?4+31=35（米）（两块布原有长度相等）　　综合列式：　　（31-19）÷（4-1）+31　　=12÷3+31　　=4＋31　　=35（米）　　验算：35-31=4（米）　35-19＝16（米）16÷4＝4答：每块布原有35米长.和差1、在一个减法算式里,被减数、减数与差这三个数的和是996,减数比差大38,求减数是多少? 2、某厂有职工1850人.如果男工再增加50人就相当于女工的3倍.这个厂男、女工各多少人?
3、哥哥和弟弟两人一起进行口算比赛,5分钟内共完成146道题.哥哥比弟弟的4倍还多6道.哥哥和弟弟各做多少道?4、甲校人数比乙校的2倍多16人,甲校比乙校多234人.求两校人数分别是多少人?5、思考：甲乙两车运来同样多袋数的化肥.甲车卸下17袋,乙车卸下29袋后,甲车余下的是乙车余下的3倍.两车原来各运来多少袋?1.由题意知：被减数＋减数＋差＝996,再根据上面的关系式我们可以得到：减数＋差＋减数＋差＝996,那么,减数＋差＝996÷2＝498,即减数与差的和是498,又已知减数与差的差是38,根据和差问题的基本数量关系式知：减数：(996÷2＋38)÷2 ＝(498＋38)÷2 ＝536÷2 ==268 答：减数是268. 2、分析：女工人数：（1850+50）÷（3+1）＝475（人） 男工人数： 1850—475＝1375（人） 3、分析：弟弟做的题数： （146—6）÷（4+1）＝28（道） 哥哥做的题数： 146—28＝118（道） 4、分析：以乙校为标准（1倍数）,甲校如果再多16人就正好是乙校的2倍.即甲校比乙校多（234+16）人,相当于比乙校多（2—1）倍.乙校人数：（234+16）÷（2—1）＝250（人） 甲校人数：250+234＝484（人）5、分析：甲乙两车运来的化肥袋数相同,为什么卸完后会出现倍数关系呢?原因是：因为甲车比乙车少卸了（29—17）袋,即卸完后甲车比乙车多（29—17）袋.以乙车余下的袋数为标准（1倍数）,甲车多出的袋数相当于乙车余下的（3—1）倍,就可以求出乙车余下的袋数. 乙车余下的袋数：（29—17）÷（3—1）＝6（袋）乙车原来运来的袋数：6+29＝35（袋）还原(1)一个数被7除余2,被9除余4,能被5整除,这个数最小是几?（2）一个三位数除以11余8,除以6余2,除以5余3,这个三位数最大是几?（3）新生入学分组参加开学典礼,每组5人多一人,每组6人多2人,每组7人多3人,新生至少有多少人?
（4）某仓库运出四批原料,第一批运出的占全部库存的一半,第二批运出的占余下的一半,以后每一批都运出前一批剩下的一半.第四批运出后,剩下的原料全部分给甲、乙、丙三个工厂.甲厂分得24吨,乙厂分得的是甲厂的一半,丙厂分得4吨.问最初仓库里有原料多少吨?（5）新生入学分组参加开学典礼,每组5人多一人,每组6人多2人,每组7人多3人,新生至少有多少人?被7除余2说明少5,被7除余2说明也少5.【7,9,5】=315 315-5=310
因为除以5余3,所以末尾是3或者8；又因为除以6余2,所以是偶数所以末尾数是8；所以这个数是11的倍数加8,【11,90】=990 990+8=998
每种分法都少4人 [5,6,7]=210 210-4=206(人)24+24÷2+4=24+12+4=40(吨)40×2×2×2×2=640(吨) 分析：每组5人多一人,每组6人多2人,每组7人多3人.假设再加上4人,就正好了.也就是5、6、7、的最小公倍数. 5、6、7的最小公倍数是210. 210-4=206 答：新生至少有206人. 年龄例1：小华今年12岁,他妈妈今年48岁,多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍?多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍? 首先,不管是今年或今年前、今年后的若干年,小华和他妈妈年龄的差都是相同的,妈妈的年龄比小华大48－12=36（岁）.当妈妈的年龄是小华的5倍时,把那时小华的年龄作为1份,妈妈的年龄是这样的5份,比小华多5－1=4（份）,所以那时小华是：36÷4=9（岁）,是在今年前12-9=3（年）.当妈妈的年龄是小华的3倍时,把那时小华的年龄作为1份,妈妈的年龄是这样的3份,比小华3－1=2（份）,所以那时小华是：36÷2=18（岁）,是在今年后18－12=6（年）.答：3年以前,妈妈的年龄是小华的5倍,6年以后,妈妈的年龄是小华的3倍.例2：小芬家由小芬和她的父母组成,小芬的父亲比母亲大4岁,今年全家年龄的和是72岁,10年前这一家全家年龄的和是44岁.今年三人各是多少岁?一家人年龄的和今年与10年前比较增加了72－44=28（岁）,而如果按照三人计算10年后应增加3×10=30（岁）,只能是小芬少了2岁,即小芬8年前出生,今年是8岁,今年父亲是（72－8＋4）÷2=34（岁）,今年母亲是34－4=30（岁）.答：今年父亲34岁,母亲30岁,小芬8岁.例3：父亲今年38岁,母亲今年36岁,儿子今年11岁,多少年后,父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍?今年父母年龄之和为38＋36=74（岁）,儿子年龄的4倍是44岁,今年父母年龄之和比儿子年龄的4倍多74－44=30（岁）,而每过一年父母年龄增加2岁,过一年儿子年龄增加数的4倍为4岁,就是说每过一年父母年龄的增加比儿子年龄增加数的4倍少4－2=2（岁）,当父母年龄之和为儿子年龄的4倍时,要过30÷2=15（年）.答：15年后,父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍. 例4：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍,过8年,张老师的年龄是小华年龄的3倍,小华今年多少岁? 今年张老师的年龄是小华年龄的5倍,是把今年小华年龄的作为1份,今年张老师的年龄是这样的5份,张老师今年的年龄比小华多5－1=4（份）,过8年,张老师的年龄是小华年龄的3倍,是把那时小华的年龄作为1份,张老师那时的年龄是这样的3份,张老师那时的年龄比小华多3－1=2（份）.今年和过8年后张老师与小华年龄差的岁数是相同的,因此过8年的1份是今年的4÷2=2（份）,那么,今年的1份的岁数是8÷（2－1）=8（岁）,就是今年小华8岁.答：今年小华8岁.例5：今年大华20岁,大明18岁,小芬12岁,小玲8岁,多少年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍?今年大华、大明年龄的和的2倍是（20＋18）×2=76（岁）,小芬、小玲年龄的和的3倍是（12＋8）×3=60（岁）,大华、大明年龄的和的2倍比小芬、小玲年龄的和的3倍多76－60=16（岁）,而每过一年,大华、大明增加年龄的和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少2×3－2×2=2（岁）,使大华、大明年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍,过的年数是16÷2=8（年）.答：8年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍.路程1.ab两地相距6千米,甲.乙两人分别从ab两地同时出发在两地间往返行走(到达另一地后立即返回),在出发40分钟后两人第一次相遇.乙到达a地后马上返回,在离a地2千米的地方两人第二次相遇.求甲.乙的速度.2.客车和货车同时从甲.乙两地相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米.两车相遇后又以原速继续前进,客车到达乙地后立即返回,货车到达甲地后也立即返回,两车在距中点108千米处再次相遇.甲.乙两地相距多少千米?3、A、B两间公路路程500千米辆货车辆客车别两同发相向行3两车相距89千米货车平均每行62千米客车平均每行少千米
4、丁丁家校西边亚家校东边两家间路程1170米丁丁平均每钟走75米亚平均每钟走70米丁丁先发300米亚再发两同校亚家校走少钟丁丁家离校远
5、A、B两间路程7.95千米王阿姨李叔叔别两发相向行王阿姨午2发步行平均每钟走0.07千米李叔叔午230骑自行车发李叔叔经15钟与王阿姨相遇李叔叔骑自行车平均每钟行少千米1、设甲的速度为每小时x千米.　　第二次相遇时,甲行了6＋4＝10千米,乙行了6＋2＝8千米,因为时间相同,所以乙的速度是甲的8／10,即4／5x千米.　　第一次相遇时都走了40分钟,共走了6千米.　　40分钟＝2／3小时　　列出方程　　（x＋4／5x）＊2／3＝6　　解之得x＝5　　那么乙的速度为4千米／小时.　　答：甲的速度是每小时5千米,乙的速度是每小时4千米.2、设甲、乙两地相距x千米.　　第二次相遇时,客车行的路程是x＋1／2x＋108（千米）,货车行的路程是x＋1／2x－108（千米）　　相遇所用时间相同,时间又等于路程除以速度,列出方程　　（x＋1／2x＋108）／54＝（x＋1／2x－108）／48　　解之得x＝1224　　答：甲、乙两地相距1224千米.3.设客车平圴每行x千米
则根据题意：
3（x+62）=500--89
解程 ：
x=75
答：客车平均每行75千米
4.设亚家校走x钟丁丁家离校(75x+300)米
则根据题意 ：
（70+75)x+300=1170
解程 ：
x= 6
75x+300=750
答：亚家校走6钟丁丁家离校750米
5.设李叔叔骑自行车平均每钟行x千米
则根据题意 ：
15（0.07+x)=7.95--0.07*30
解程 ：
x=0.26
答：李叔叔骑自行车平均每钟行0.26千米

和差化积的口诀：正弦加正弦,正弦在前面；如sinA+SinB=2sin（A+B）/2 ·COS(A-B)/2
正弦减正弦,正弦在后面,如sinA-SinB=2COS（A+B）/2 ·sin(A-B)/2
余弦加余弦,余弦肩并肩,如COSA+COSB=2COS（A+B）/2 ·COS(A-B)/2
余弦减余弦,余弦看不见,如COSA-COSB=-2Sin（A+B）/2 ·sin(A-B)/2
最后面个注意负号不要掉了!
积化和差：这个反推就行了
三角公式我原来高中就记了几个公式加口诀,ok,所有的题目ok啦!
希望有所帮助!

除数与被除数的和是151,即:被除数 + 除数 = 151
而 被除数 = 4*除数 + 1
所以 ,5*除数 + 1 =151
除数 = 30