已知函数f(x)=2ax+a2−1x2+1,其中a∈R.
![](images/u2507.png)
2ax+a2−1 |
x2+1 |
(1)若a=1时,记h(x)=mf(x),g(x)=(lnx)2+2ex-2,存在x1,x2∈(0,1]使h(x1)>g(x2)成立,求实数m的取值范围;
(2)若f(x)在[0,+∞)上存在最大值和最小值,求a的取值范围.
已提交,审核后显示!提交回复
共1条回复
freestar4 共回答了16个问题
|采纳率100%- 解题思路:(1)a=1时,存在x1,x2∈(0,1]使h(x1)>g(x2)成立,等价于h(x)max>g(x)min,利用导数、函数单调性可求得两函数的最值;(2)f′(x)=−2(x+a)(ax−1)(x2+1)2,按照a=0,a>0,a<0三种情况进行讨论,根据单调性可判断函数最值情况;
(1)g′(x)=[2lnx/x]+2e,g′(x)=0⇒x=e-1,
x∈(0,e-1),g'(x)<0,g(x)递减;x∈(e-1,1),g'(x)>0,g(x)递增,
∴g(x)min=g(e-1)=1,∴h(x)=[2mx
1+x2,
显然m>0,则h(x)在(0,1]上是递增函数,h(x)max=m,
∴m>1,
所以存在x1,x2∈(0,1]使h(x1)>g(x2)成立时,实数m的取值范围是(1,+∞);
(2)f′(x)=
−2(x+a)(ax−1)
(x2+1)2,
①当a=0时,f′(x)=
2x
(x2+1)2.
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,f(x)在[0,+∞)上不存在最大值和最小值;
当a≠0,f′(x)=
−2(x+a)(x−
1/a)
(x2+1)2],
②当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-a<0,x2=[1/a],f(x)与f'(x)的情况如下:
x (0,x2)x2(x2,+∞)
f'(x)+0-
f(x)↗f(x2)↘故f(x)的单调减区间是( [1/a],+∞);单调增区间是(0,[1/a]).
当a>0时,由上得,f(x)在(0,[1/a])单调递增,在([1/a],+∞)单调递减,
所以f(x)在(0,+∞)上存在最大值f( [1/a])=a2>0.
又因为
lim
x→∞f(x)=
lim
x→∞
2ax+a2−1
x2+1=0,
设x0为f(x)的零点,易知x0=
1−a2
2a,且x0<[1/a].从而x>x0时,f(x)>0;x<x0时,f(x)<0.
若f(x)在[0,+∞)上存在最小值,必有f(0)≤0,解得-1≤a≤1.
所以a>0时,若f(x)在[0,+∞)上存在最大值和最小值,a的取值范围是(0,1].
③当a<0时,f(x)与f'(x)的情况如下:
x(0,x1)x1(x1,+∞)
f'(x)-0+
f(x)↘f(x1)↗所以f(x)的单调增区间是(-a,+∞);单调减区间是(0,-a),f(x)在(0,-a)单调递减,在(-a,+∞)单调递增,
所以f(x)在(0,+∞)上存在最小值f(-a)=-1.
又因为
lim
x→∞f(x)=
lim
x→∞
2ax+a2−1
x2+1=0,
若f(x)在[0,+∞)上存在最大值,必有f(0)≥0,解得a≥1,或a≤-1.
所以a<0时,若f(x)在[0,+∞)上存在最大值和最小值,a的取值范围是(-∞,-1].
综上,a的取值范围是(-∞,-1]∪(0,1].点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,综合性强,难度大,能力要求较高. - 1年前
相关推荐
大家在问
- 1在解方程的过程中,合并同类项的依据是_________,系数化为1的依据是_________.
- 2L x mol^-1和m^3 x mol^-3 是Vm的单位,第一个怎么转换成第二个的?
- 3将一个底面半径是2厘米的圆柱体拼切成一个近似长方体,拼成后长方体的前面面积是25.12,求长方体表面积?
- 4七颗钻石是讲了什么?
- 5英语翻译:他的爪子是由像铁一样的物质构成的?桌子是由木头制成的!
- 6暑假中的一些数学的问题1、某车间有27名工人,生产甲乙两种零件,每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套,已知每个工人每天能
- 7初中语文随笔 400每天一篇
- 8Computers can work out problems far __than human beings.(qui
- 9一个三位数,被43除余7,被42除余5.那么,这个三位数是多少.若这个数是四位数,
- 10求e^(-t^2)在cosx到0上的定积分,
- 11某DNA分子含胸腺嘧啶200个,胞嘧啶450个,该DNA分子复制数次后,消耗了周围环境中1400个游离腺嘌呤脱氧核苷酸,
- 12某电器厂今年计划二月份生产录音机4600台,实际比计划减少5分之1.实际生产多少台?
- 13I dont' know _________ with this problem
- 14《草船借箭》中诸葛亮的神机妙算主要表现在那两个方面?
- 15“你若安好,便是晴天”这句话是林徽因自己说的,还是《你若安好便是晴天》的作者说的?