矩阵范数不等式:矩阵2范数的平方小于等于矩阵1范数乘以无穷范数

在 |*|_p 的单位球S^(n*n-1)上定义函数 f: S^(n*n-1)--> R^+, f(s) = |s|_q/|s|_p = |s|_q
因为 在|*|_p 的 S^(n*n-1)上 两个范数都>0, 所以定义是成立的,而且 f(S^(n*n-1)) 都>0. 因为 S^(n*n-1)紧,所以 存在 0< c1

证明：
记λ为矩阵A的模最大特征值（谱半径）,x为其对应的右特征向量,那么：
x'A' × Ax = |λ|² × x'x => |λ| = ||Ax||₂/ ||x||₂

向量的范数概念还是比较好理解的,这是从内积概念引入的
一般向量有∞-范数、1-范数和2-范数的概念
对于向量x,∞-范数写为||x||∞,1-范数写为||x||1,2-范数写为||x||2
||x||∞是x的所有元素绝对值中的最大值；1-范数是x的所有元素绝对值的和
2-范数是先对x是所有元素求平方和,再开平方即是
更一般的是写作p-范数形式,p可以取1、2和∞

矩阵的范数和向量的范数概念是不同的,A是矩阵,则：
1-范数是：max(sum(abs(A)),就是对A的每列的绝对值求和
再求其中的最大值,也叫列范数
2-范数是：求A'*A 的特征值,找出其中的最大特征值,求其平方根
相当于max(sqrt(eig(A'*A))),也叫谱范数
∞-范数是：max(sum(abs(A')),就是对A的每行的绝对值求和
再求其中的最大值,也叫行范数
当然还有一种F-范数,就是求矩阵每个元素的平方和,后开平方

对于矩阵而言,矩阵范数真包含算子范数,也就是说任何一种算子范数一定是矩阵范数,但是某些矩阵范数不能作为算子范数（比如Frobenius范数）.

直白的说：
向量的一种范数就理解成在某种度量下的长度,比如欧式空间,二范数：||x||_2=sqrt(sum(x_i^2)).
矩阵范数,通常是把矩阵拉长成一列,做向量范数.e.g 矩阵的F范数就是拉成向量之后的二范数.
算子范数,算子A(有穷维中的矩阵A),作用在向量x上（乘法）,
||A||:=max(||Ax||),s.t.||x||=1.


至于作用,就是方便给一个抽象的空间（比如连续函数空间,函数就是一个“点”）引入极限、收敛等分析的性质,像矩阵核范数在矩阵compressed sensing里就挺重要~

只要是相容范数,都有
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