圆O1过梯形ABCD的两顶点A、B，并切腰CD于点N；圆O2过点C、D并切腰AB于点M．求证：AM•MB=CN•ND．

解题思路：首先得出PM×PA=PN×PD，则A、M、N、D四点共圆，进而得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB，进而求出即可．

证明：延长BA、CD交于点P，
则有：PM²=PD×PC，PA×PB=PN²（切割线定理），
∵AD∥BC，
∴[PA/PB]=[PD/PC]，
∴以上三式相乘可得：PM×PA=PN×PD，
∴A、M、N、D四点共圆，
∴∠ADC+∠NMA=180°，
又∵∠ADC+∠DCB=180°，
∴∠NMA=∠DCB，
又∵∠BNC=∠BAN（弦切角定理），
∴△AMN∽△NCB，
∴[AM/AN]=[NC/NB]①，
同理可得：△ADN∽△NMB，
∴[AN/DN]=[NB/MB]②，
①×②得：
[AN/DN]×[AM/AN]=[NC/NB]×[NB/MB]
∴[AM/DN]=[NC/MB]，
∴AM•MB=CN•ND．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；切线的性质．

考点点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及四点共圆等知识，得出△AMN∽△NCB，△ADN∽△NMB是解题关键．