泰勒中值定理的余项R(x),中ξ为什么不是X.为什么余项要用柯西中值定理推出来?

其实从泰勒定理的广泛目的就可以理解,为了用一个简单的多项式函数Pn（x)来表示一个复杂函数f(x),就必然要求余项R满足上式.
如果要证明,其实是先设Rn(x)=f(x)-P(x)的,详细如下：
若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx）,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式.设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1).一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x)写为Rn.
麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),这里0

1.泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=...

1：他是设多项式p(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3--------+an(x-x0)^n与f（x）接近
这就要求p（x)与f（x）的值与各阶导数在x=x0的值对应相等.
那么你把p（x)与f（x）分别对x求导,再令他们当x=x0时,相等即可啊.
譬如2阶导数在x=x0的值相同.那么
p″（x）=2a2+6a3(x-x0)+ ----------- 注意当x=x0时只有第一项不为0即p″（x0）=2a2
令p″（x0）=f″（x0）
则2a2=f″（x0）
推出a2=f″（x0）/2 即确定了多项式p（x)中系数a2的值
其他的也是内推.
2：拉格朗日是泰勒公式当n=0的特例,这也无需再推啊,你令泰勒公式中的n=0就是拉格朗日了.而且那个拉格朗日中值定理你也写错了.
其实这几个中值定理都有一种递进的关系,其中
拉格朗日中值定理是对洛尔定理的推广（端点连线由水平推广成一般情况）
柯西中值定理是对拉格朗日的推广（也可以看成完全等价,因为柯西只不过把拉格中的x写成了参数式）
泰勒公式也是对拉格朗日的推广（在导数阶数上的推广）

去找高等教育出版社出版的高等数学（上）或数学分析（上）,那里有详细证明.

整个定理的证明是固定x,考虑两个关于t的函数（x是常数了）,用cauchy中值定理.
关于t的两个多项式求导,G(t)把求和号打开,然后一个一个求导,再求和就可以了.

高等数学书上有 很简单 但是一般不需要证明他成立 通常直接拿来用就可以

说的是以x.为中心的某个区间内发f（x）有意义且有n+1阶导数

f(x)二阶可导,且f(0)=0,f(1)=1,f'(0)=f'(1)=0,证明应该是存在x属于(0,1),使得|f''(x)|>=2.
证明：由Taylor展开可知：f(1/2)=f(0)+f'(0)*(1/2 -0)+f"(p)*(1/2 -0)^2
（p属于(0,1/2)）
f(1/2)=f(1)+f'(1)*(1/2 -1)+f"(q)*(1/2 -1)^2
（q属于(1/2,1)）
两个相减,带入条件,我们得到：f"(p)-f"(q)=4
又因为|f"(p)-f"(q)|

读者一定记住说到函数的中值定理一定是该函数在某点（如a或0）的中值定理因为中值定理是用来解决函数的非特殊点的函数值这往往很困难甚至不可能求得出,因此我们可以考虑在这一点附近找特殊值用极限来逼近,这个公式通常用来求一些难以求出的极限问题,至于与拉格朗日等关系吗建议读者多看书,多思考思考!希望对你有些启发!

建筑上用

泰勒展开式：
f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n+a(n+1)(x-x0)^(n+1)+a(n+2)(x-x0)^(n+2)…
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n
f(x)-pn(x)=a(n+1)(x-x0)^(n+1)+a(n+2)(x-x0)^(n+2)+…
=(x-x0)^n*[a(n+1)(x-x0)+a(n+2)(x-x0)^2+…]
=o[(x-x0)^n]

证一个极限的连续性,可以有以下几种方法
1.用定义,对每一个点都求极限
2.求一阶导数
3.用一致连续性
区间的连续性是一个定义,而非一个定理,它不是我们推出来的,它是我们人为定义的.
我对集合论了解不多,你还是看下面的链接吧,
http://baike.baidu.com/view/26152.html?wtp=tt

泰勒公式的基本形式： f(x)=Pn(x)+Rn(x).当在x=x0的某个邻域内,可以用多项式Pn(x)来逼近函数f(x),也就是说当x→x0时,Pn(x)→f(x),Rn(x)则为余项,它是比(x-x0) ^n高阶的无穷小.
基本条件：f(x)在x0的某个邻域内有直到n+1阶的导数.
泰勒公式的应用一般有三个方面：
1、利用泰勒展开式做代换求函数的极限.
这一点应用最广泛!这个时候一般用含有皮亚诺余项的泰勒公式.
另外一些等价无穷小也可以使用泰勒公式求出.
2、利用泰勒展开式证明一些等式或者不等式.
这一点应用的也非常多,在很多大型证明题中都使用过.泰勒公式可以灵活选择在某点展开,效果也很好.
3、应用拉格朗日余项Rn(x),可以估算误差；用多项式P(x)可以求f(x)的近似值.

泰勒公式的具体应用方法,你可以看一下我提供的参考资料,也可以在百度百科里看一下.