设a1,a2,a3…an为任意实数 证明：cos(a1)+cos(a2)+…cos(an)+sin(a1)+sin(a2

1、多算两个数就清楚了：
a2＝1/(1－a1)＝1/(1＋1/2)＝2/3；
a3＝1/(1－a2)＝1/(1－2/3)＝3；
a4＝1/(1－a3)＝1/(1－3)＝－1/2＝a1；
于是a5＝1/(1－a4)＝1/(1－a1)＝a2；
a6＝1/(1－a5)＝1/(1－a2)＝a3；
...
∴a1＝a4＝a7＝a10＝…＝a1000＝－1/2
a2＝a5＝a8＝a11＝…＝a1001＝2/3
a3＝a6＝a9＝a12＝…＝a999＝3
2、所求的数等于：
3966×(1－1/2)×(1＋1/3)×(1－1/4)×(1＋1/5)×(1－1/6)×(1＋1/7)×…×(1－1/1998)×(1＋1/1999)×(1－1/2000)
＝3966×1/2×4/3×3/4×6/5×5/6×8/7×…×1997/1998×2000/1999×1999/2000
＝3966×1/2
＝1983

以下摘自菁优网
分析：
由OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An=1可知B1点的坐标为（1,y1）,B2点的坐标为（2,y2）,B3点的坐标为（3,y3）…Bn点的坐标为（n,yn）,把x=1,x=2,x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值,再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…Sn的值,故可得出结论．
∵OA1=A1A2=A2A3=…=An-1An=1,
∴设B1（1,y1）,B2（2,y2）,B3（3,y3）,…Bn（n,yn）,
∵B1,B2,B3…Bn在反比例函数y=1/x（x＞0）的图象上,
∴y1=1,y2=1/2,y3=1/3…yn=1/n,
∴S1=1/2×1×（y1-y2）=1/2×1×（1-1/2）=1/2（1-1/2）；
S2=1/2×1×（y2-y3）=1/2×（1/2-1/3）；
S3=1/2×1×（y3-y4）=1/2×（1/3-1/4）；…
Sn=1/2（1/n-1/(n+1)）,
∴S1+S2+S3+…+Sn=1/2（1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/n-1/(n+1)=n/2(n+1)．
故答案为：n/2(n+1)．

解题思路：根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到第1个阴影三角形的面积=4，由于第2个阴影三角形与三角形OB₂C₂相似，根据相似得性质得则第2个阴影三角形的面积=

1/4]S△OB2C2=[4/4]，同理可得第3个阴影三角形的面积=[1/9]S△OB3C3=（[1/3]）2×[1/2]×8=[4/9]，于是得到第n个阴影三角形的面积=[1/4]S△OBnCn=（[1/n]）2×[1/2]×8=[4

n2

．

第1个阴影三角形的面积=
1/2]×8=4，
第2个阴影三角形的面积=[1/4]S_△OB2C2=（[1/2]）²×[1/2]×8=[4/4]，
第3个阴影三角形的面积=[1/9]S_△OB3C3=（[1/3]）²×[1/2]×8=[4/9]，
所以第n个阴影三角形的面积=[1/4]S_△OBnCn=（[1/n]）²×[1/2]×8=[4
n2．
故答案为
4
n2．

点评：
本题考点： 反比例函数系数k的几何意义．

考点点评： 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k/x]图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方．

求啥?
an=log[（n+1）（底数）](n+2) =[ ln(n+2)]/[ln(n+1)]
a1·a2·a3…an=[ ln(3)/ln(2)]*[ln(4)/ln(3)]*...*[ln(n+2)/ln(n+1)] = ln(n+2)/ln(2) = log[2(底数)](n+2)
若要使a1·a2·a3…an为整数,则(n+2)必须是2的整数次方,即n+2=2^k(k为整数),
则n = 2^k - 2
不知道最后你要求的【1,2011】是啥意思,根据我上面给出的结果,你自己看看吧.