求不等式ax2+(4a-1)x+2(2a-1)>0的解集

当a=0时，不等式化为-x+1＞0，∴x＜1；（2分）当a＞0时，原不等式化为（x-1）（x-1a）＞0，①当a＞1时，不等式的解为x＜1a或x＞1；②当a=1时，不等式的解为x≠1；③当0＜a＜1时，不等式的解为x＜1或x＞1a；（10分）...

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想．根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．

∵不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-2，1），
∴-2，1是一元二次方程ax²+bx+c=0的实数根，且a＜0．
∴−2+1＝−
b
a，−2×1＝
c
a，
化为[b/a]=1，[c/a]=-2．
∴不等式ax²+（a+b）x+c-a＜0化为 x2+(1+
b
a)x+
c
a-1＞0，
代入可得x²+（1+1）x-2-1＞0，即x²+2x-3＞0，
解得1＜x，或x＜-3．
∴不等式ax²+（a+b）x+c-a＜0的解集为{x|1＜x，或x＜-3}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，考查了计算能力，属于基础题．

由题意知a＞0，则ax²≥e^x化为a≥
ex
x2，
令f（x）=
ex
x2，则f′（x）=
ex(x−2)
x3，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f（x）_min=f（2）=
e2
4，
又f（1）=e，f（3）=
e3
9，f（4）=
e4
16，且f（4）＞f（1）＞f（3），
不等式ax²≥e^x的解集中的正整数解有且只有3个，
∴e≤a＜
e4
16，即实数a的取值范围是[e，
e4
16），
故答案为：[e，
e4
16）．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 该题考查函数恒成立，考查利用导数研究函数的最值，恰当构造函数借助导数求最值是解题关键．

∵关于x的不等式ax²+（1-2a）x-2＞0，
∴因式分解可形为（x-2）（ax+1）＞0，
①当a=0时，不等式即为x-2＞0，
故不等式的解为{x|x＞2}；
②当a＞0时，不等式即为（x-2）（x+[1/a]）＞0，
∵-[1/a]＜2，
故不等式的解为{x|x＜-[1/a]或x＞2}；
③当-[1/2]＜a＜0时，不等式即为（x-2）（x+[1/a]）＜0，
∵2＜-[1/a]，
故不等式的解为{x|2＜x＜-[1/a]}；
④当a=-[1/2]时，不等式即为（x-2）²＜0，
故不等式的解为∅；
⑤当a＜-[1/2]时，不等式即为（x-2）（x+[1/a]）＜0，
∵-[1/a]＜2，
故不等式的解为{x|-[1/a]＜x＜2}．
综上所述，当a=0时，不等式的解为{x|x＞2}，
当a＞0时，不等式的解为{x|x＜-[1/a]或x＞2}，
当-[1/2]＜a＜0时，不等式的解为{x|2＜x＜-[1/a]}，
当a=-[1/2]时，不等式的解为∅，
当a＜-[1/2]时，不等式的解为{x|-[1/a]＜x＜2}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解法．求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．属于基础题．如果方程的根的大小关系部确定，则需要进行分类讨论求解．属于中档题．

∵不等式ax²+（ab+1）x+b＞0的解集是（1，2），
∴1，2是方程ax²+（ab+1）x+b=0的两根并且a＜0，
∴可得



a+ab+1+b＝0
4a+2ab+2+b＝0
a＜0，解之得

a＝−1
b＝−2或

a＝−
1
2
b＝−1
故a+b=-3或-[3/2]
故答案为-3或-[3/2]

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．

∵关于x的不等式ax²-|x+1|+2a≥0恒成立，
∴令f（x）=ax²-|x+1|+2a（a＞0），
①若x≥-1，∴f（x）=ax²-x+2a-1，△≤0，∴1-4a（2a-1）≤0，解得a≥
1+
3
4（负值已舍）；
②若x＜-1，∴f（x）=ax²+x+2a+1，△≤0，1-4a（2a+1）≤0，解得a≥

3−1
4（负值已舍）；
综上a≥
1+
3
4，故答案为：{a|a≥

3+1
4}．

点评：
本题考点： 绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

考点点评： 此题考查绝对值不等式的解法，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是高考常见的题型．

由x的不等式ax²+bx+c＞0的解集是(-∞，
1
2)∪(2，+∞)，得出：


a＞0
2+
1
2=-
b
a
2•
1
2=-
c
a
∴

a＞0
b=-
5
2a
c=a
∴ax2+
5
2ax+a≤0
∴x2+
5
2x+1≤0，
即x∈[-2，
1
2]．
则不等式ax²-bx+c≤0的解集为：x∈[-2，
1
2]．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法；一元二次不等式的应用；一元二次不等式与一元二次方程．

考点点评： 考查学生解不等式的能力，以及不等式的应用能力，解答关键是应用一元二次不等式与一元二次方程的关系解决问题．

∵关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（-1，2），
∴

−1+2＝−
b
a
(−1)×2＝
c
a，且a＜0
∴b=-a，c=-2a
∴不等式ax²-bx+c＞0可化为ax²+ax-2a＞0
∴x²+x-2＜0
∴-2＜x＜1
故答案为：（-2，1）

点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题主要考查一元二次不等式与二次方程，考查学生的计算能力，属于基础题．

由
mlog2x
alog2x−1+
blog2x−1
clog2x−1＜0，
可得[m
a−
1
log2x+
b−
1
log2x
c−
1
log2x＜0；
令y=-
1
log2x，
则
m/y+a+
y+b
y+c＜0；
由x∈（
1
2]，

2
2），可得-1＜log2^x＜-[1/2]，
所以-1＜y＜-[1/2]，令-1＜-[1
log2x＜-
1/2]，
整理，可得1＜log2^x＜2，
解得2＜x＜4，
即关于x的不等式
mlog2x
alog2x−1+
blog2x−1
clog2x−1＜0的解集为（2，4）．
故答案为：（2，4）．

点评：
本题考点： 类比推理．

考点点评： 本题主要考查了类比推理法的运用，考查了对数不等式的解法，属于中档题，解答此题的关键是弄清楚类比的方法．

关于x的不等式
k
x+a+
x+b
x+c＜0的解集为（-2，-1）∪（2，3），用−
1
x]替换x
不等式可以化为：[k
(−
1/x)+a+
(−
1
x)+b
(−
1
x)+c＝
kx
ax−1+
bx−1
cx−1＜0可得−
1
x∈(−2，−1)∪(2，3)
可得
1
2＜x＜1或−
1
2＜x＜−
1
3]
故答案为：(−
1
2，−
1
3)∪(
1
2，1)

点评：
本题考点： 其他不等式的解法．

考点点评： 本题是创新题目，考查理解能力，读懂题意是解答本题关键．是难题．

由已知条件知：命题p，和q中一个为真命题，一个为假命题；
∴①若p为真命题，q为假命题：
由命题p知0＜a＜1，要使q为假命题则：1-4a²≥0，或a≤0，解得a≤
1
2；
∴0＜a≤
1
2；
②若p为假命题，q为真命题：
∵p为假命题；
由①知：a≤0，或a≥1 （1）；
q为真命题，则

a＞0
1−4a2＜0，解得a＞
1
2 （2）；
∴由（1）（2）知a≥1．
综上得a的取值范围是（0，[1/2]]∪[1，+∞）．

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明

考点点评： 考查逻辑连接词的表示符号，以及命题p∨q和p∧q真假情况的判断，指数函数的单调性，一元二次不等式的解和判别式的关系．

根据题意，M={a，b，c}⊆{-6，-5，-4，-2，1，3，4}，
则集合M的情况有C₇³=35种，
其中①、当a=1、b=-2、c=3时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
②、当a=1、b=-2、c=4时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
③、当a=1、b=-4、c=4时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
④、当a=3、b=-2、c=4时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
⑤、当a=3、b=-4、c=4时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
⑥、当a=3、b=-5、c=4时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
⑦、当a=3、b=-6、c=4时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
⑧、当a、b、c为1、3、4时，有b²＜4ac，不等式a
x2 +bx+c＜0无解，不合题意，
共8种情况，
则不等式a
x2 +bx+c＜0恒有实数解的情况有35-8=27；
故选D．

点评：
本题考点： 计数原理的应用；一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题考查计数原理的运用，关键是对于不等式ax2 +bx+c＜0恒有实数解的理解．

命题p：关于x的不等式ax²-ax+1＞0对一切x∈R恒成立，
当a=0时，化为1＞0恒成立，因此a=0满足条件；当a≠0时，则

a＞0
△＜0，解得0＜a＜4，综上可得a的取值范围是[0，4）；
命题q：∀x∈[0，1]，都有2^x-4^x+a＞0，则x∈[0，1]，a＞（4^x-2^x）_max．
令f（x）=4^x-2^x=(2x−
1
2)2−
1
4，x∈[0，1]，
∴当x=1时，f（x）取得最大值，f（1）=2，∴a＞2．
∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p与q必然一真一假．
当p真q假时，则

0≤a＜4
a＞2，解得2＜a＜4；
当q真p假时，则

a＜0或a≥4
a≤2，解得a＜0．
综上可得：实数a的取值范围是a＜0或2＜a＜4．

点评：
本题考点： 复合命题的真假．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式的解法、指数函数和二次函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

（1）∵不等式ax²-3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}，
∴方程ax²-3x+2=0的解为1，b，且b＞1．
∴

1+b=
3/a
1×b=
2
a
a＞0]
解得a=1，b=2，
（2）由（1）知，f（x）=4x+[9/x]，
∴f′（x）=4-[9
x2=
4x2-9
x2
当x＞
3/2]或x＜-
3
2时，f′（x）＞0，即f（x）为单调递增函数，
∴f（x）在区间[3，5]上为增函数，
∴当x=3时，f（x）有最小值，最小值为f（3）=15．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和利用导数判断单调性是解题的关键．

∵一次函数y=（a-1）x+2在R上为减函数∴a-1＜0 即P：a＜1∵关于x的不等式ax2＜ax-1的解集是Ø．∴ax2-ax+1≥0恒成立（i）当a=0时，1≥0恒成立，符合题意（ii）当a≠0时，a＞0△＝a2−4a≤0解可得，0＜a≤4综上可得，...

点评：
本题考点： 复合命题的真假．

考点点评： 本题主要考查了一次函数的单调性与系数的关系，二次函数的恒成立的求解及复合命题的真假判断的应用．要注意（3）中利用对立事件求解

（1）当a=0时，得到x＞1；
当a≠0时，变形得：（ax-1）（x-1）＜0，
分四种情况考虑：当a＜0时，解得：[1/a]＜x＜1；
当a=1时，x∈∅；
当0＜a＜1时，解得：1＜x＜[1/a]；
当a＞1时，解得：[1/a]＜x＜1；

（2）原不等式等价于a（x²-x）-x+1＜0对a∈[2，3]恒成立，
所以

2(x2-x)-x+1＜0
3(x2-x)-x+1＜0，
解得：[1/2]＜x＜1．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，是一道基本题型．

当a=0时，不等式化为-x+1＞0，
∴x＜1；（2分）
当a＞0时，原不等式化为（x-1）（x-[1/a]）＞0，
①当a＞1时，不等式的解为x＜[1/a]或x＞1；
②当a=1时，不等式的解为x≠1；
③当0＜a＜1时，不等式的解为x＜1或x＞
1
a；（10分）
综上所述，得原不等式的解集为：
当a=0时，解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1时，解集为{|x＜1或x＞[1/a]}；
当a=1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为{x|x＜[1/a]或x＞1}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想．根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．

当a=0时，原不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0可化为-x-1＜0，即x＞-1．
不满足题意；
当a≠0时，要使不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0对于所有的实数x都成立，
则

a＜0
(a−1)2−4a(a−1)＜0，即

a＜0
3a2−2a−1＞0．
解得：a＜-[1/3]．
综上，使不等式ax²+（a-1）x+a-1＜0对于所有的实数x都成立的a的取值范围是（-∞，-[1/3]）．

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查了恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”结合求解含参数的范围问题，是中档题．

（1）由题意知a>0且1，b是方程ax²-3x+2=0的根，∴a=1
又1×b＝
2
a，∴b=2…（5分）
（2）不等式可化为x²-2（c+1）x+4c>0，即（x-2c）（x-2）>0…（7分）
当2c>2即c>1时，不等式的解集为{x|x<2，或x>2c}
当2c=2即c=1时，不等式的解集为{x|x≠2}
当2c<2即c<1时，不等式的解集为{x|x>2，或x<2c}…（11分）
综上：当c>1时，不等式的解集为{x|x<2，或x>2c}
当c=1时，不等式的解集为{x|x≠2}
当c<1时，不等式的解集为{x|x>2，或x<2c}…（12分）

点评：
本题考点： 一元二次不等式的应用．

考点点评： 本题考查解一元二次不等式，考查分类讨论的数学思想，掌握一元二次不等式解集与一元二次方程解之间的关系是关键．

（1）因为不等式ax²-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x₁=1与x₂=b是方程ax²-3x+2=0的两个实数根，
且b＞1．由根与系的关系得

1+b＝
3
a
1×b＝
2
a，解得

a＝1
b＝2，所以得

a＝1
b＝2．
（2）由于a=1且 b=2，所以不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0，
即x²-（2+c）x+2c＜0，即（x-2）（x-c）＜0．
①当c＞2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c=2时，不等式（x-2）（x-c）＜0的解集为∅．
综上所述：当c＞2时，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c=2时，不等式ax²-（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式与一元二次方程的关系，属于基础题．

因为ax²-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}
根据一元二次不等式求解集的方法可得ax²-5x+b=a（x+3）（x-2）且a＜0
解得a=-5，b=30．
则不等式bx²-5x+a＞0变为30x²-5x-5＞0解得x＜-[1/3]或x＞
1
2
故选B

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 考查学生理解一元二次不等式解集求法的能力，会解一元二次不等式的能力，

（1）由题意知1，b为关于x的方程ax²-3x+2=0的两根，
则

b＝
2
a
1+b＝
3
a，∴a=1，b=2．
（2）不等式等价于（x-c）（x-2）＞0，
所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；
当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；
当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．

（本题8分）
由a为非负实数，得到a=0或a＞0，
（i）当a=0时，原不等式即为-x+1＜0，
∴原不等式解集为（1，+∞）；…（2分）
（ii）当a＞0时，不等式变形为（x-1）（ax-1）＜0，
∴不等式对应方程（x-1）（ax-1）=0的两根为1和[1/a]，
当0＜a＜1时，[1/a]＞1，原不等式解集为（1，[1/a]）；…（4分）
当a=1时，[1/a]=1，原不等式解集为∅；…（6分）
当a＞1时，[1/a]＜1，原不等式解集为（[1/a]，1）．…（8分）

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论及转化的思想，是高考中常考的基本题型．

（本题8分）
由a为非负实数，得到a=0或a＞0，
（i）当a=0时，原不等式即为-x+1＜0，
∴原不等式解集为（1，+∞）；…（2分）
（ii）当a＞0时，不等式变形为（x-1）（ax-1）＜0，
∴不等式对应方程（x-1）（ax-1）=0的两根为1和[1/a]，
当0＜a＜1时，[1/a]＞1，原不等式解集为（1，[1/a]）；…（4分）
当a=1时，[1/a]=1，原不等式解集为∅；…（6分）
当a＞1时，[1/a]＜1，原不等式解集为（[1/a]，1）．…（8分）

点评：
本题考点： 一元二次不等式的解法．

考点点评： 此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论及转化的思想，是高考中常考的基本题型．

∵函数y=x²+2（a²-a）x+a⁴-2a³=[x+（a²-a）]²-a²，在[-2，+∞）上单调递增，
∴对称轴-（a²-a）≤-2，
即a²-a-2≥0，解得a≤-1或a≥2．
即p：a≤-1或a≥2．
由不等式ax²-ax+1＞0的解集为R得

a≥0
△＜0，
即

a≥0
-a2-4a＜0
解得0≤a＜4
∴q：0≤a＜4．
∵p∧q假，p∨q真．
∴p与q一真一假．
∴p真q假或p假q真，
即

a≤-1或a≥2
a＜0或a≥4或

-1≤a＜2
0≤a＜4
∴a≤-1或a≥4或0≤a＜2．
所以实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[0，2）∪[4，+∞）．

点评：
本题考点： 复合命题的真假；命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题的考点是利用复合命题的真假关系确定参数的取值范围．