若x2+mx+n与x3+2x-1的乘积中不含有x3项和x2项，求m，n的值．

（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=-1故−
m
2＝−1
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），
则x₀=-x，y₀=-y，因为点Q（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，
∴-y=x²-2x，
∴y=-x²+2x，
∴g（x）=-x²+2x．
（2）F（x）=-x²+2x-λ（x²+2x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且连续，F'（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即λ≤
1−x
1+x＝
2
1+x−1在（-1，1]上恒成立，
由
2
1+x−1在（-1，1]上为减函数，
当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（-∞，0]，

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查求函数解析式的方法：待定系数法、直接法、函数单调求参数的范围、解决不等式恒成立．

因为函数f（x）=x²+mx+1的图象过点（0，1），
若命题“∃x₀＞0，f（x₀）＜0”为真，
则函数f（x）=x²+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，
∴△=m²-4＞0，且-[m/2]＞0，
即m＜-2，
则m的取值范围是：（-∞，-2）．
故答案为：（-∞，-2）．

点评：
本题考点： 特称命题．

考点点评： 本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理．

（1）由题意知：1+m+n=3对称轴为x=-1故−
m
2＝−1
解得m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x，
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），
则x₀=-x，y₀=-y，因为点Q（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，
∴-y=x²-2x，
∴y=-x²+2x，
∴g（x）=-x²+2x．
（2）F（x）=-x²+2x-λ（x²+2x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x
∵F（x）在（-1，1]上是增函且连续，F'（x）=-2（1+λ）x+2（1-λ）≥0
即λ≤
1−x
1+x＝
2
1+x−1在（-1，1]上恒成立，
由
2
1+x−1在（-1，1]上为减函数，
当x=1时取最小值0，故λ≤0，所求λ的取值范围是（-∞，0]，

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查求函数解析式的方法：待定系数法、直接法、函数单调求参数的范围、解决不等式恒成立．

x³-6x²+11x-6=（x-1）（x²+mx+n）=x³+（m-1）x²+（n-m）x-n，
可得m-1=-6，n-m=11，n=6，
解得：m=-5，n=6，
故答案为：-5；6

点评：
本题考点： 多项式乘多项式．

考点点评： 此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

根据完全平方公式的特点，则中间一项应为加上或减去2
n，则m=±2
n，m²=4n，
∴n=（[m/2]）²．
故选D．

点评：
本题考点： 完全平方式．

考点点评： 本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

（Ⅰ）∵f（-1）=-1，∴m-n=2（2分）
∴△=m²-4n=m²+4（2-m）=（m-2）²+4＞0，
则方程f（x）=0有两个不相等的实根；（5分）

（Ⅱ）∵f（0）•f（1）＜0，∴n（1+m+n）＜0，（7分）
将m-n=2代入有（m-2）（2m-1）＜0，∴[1/2＜m＜2；（10分）

（Ⅲ）∵x₁+x₂=-m，x₁x₂=n，
∴|x1−x2|＝
(x1+x2)2−4x1x2]
=
m2−4n═
(m−2)2+4（14分）
∵[1/2＜m＜2，∴2＜|x1−x2|＜
5
2]．（16分）

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查函数，方程，不等式间的转化与应用，这里主要涉及了方程根的判断，应用韦达定理研究参数的范围．

（1）∵函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3，∴

-1+3=-m
-1×3=n，即

m=-2
n=-3，
∴f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴函数的增区间为[1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|）=x²-2|x|-4=

x2-2x-3 ，x≥0
x2+2x-3 ，x＜0，∴它的增区间为[1，+∞）、[-1，0]．
对任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有
g(x1)-g(x2)
x1-x2＞0成立，
∴区间[t，t+1]在函数g（x）的增区间内，∴t≥1，或

t+1≤0
t≥-1．
解得t≥1，或t=-1．

点评：
本题考点： 函数的零点与方程根的关系；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数的零点与方程根的关系，函数的单调区间，体现了转化的数学思想，属于中档题．

（Ⅰ）由题意知：m=2，n=0，
∴f（x）=x²+2x…（2分）
设函数y=f（x）图象上的任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），则x₀=-x，y₀=-y，…（4分）
∵点Q（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上
∴-y=x²-2x，y=-x²+2x
∴g（x）=-x²+2x…（6分）
（Ⅱ） F（x）=e^x（-x²+2x）-λ•2x
∵F（x）在[-2，0]是增函数，即F'（x）=e^x（-x²+2）-2λ≥0在[-2，0]恒成立．
亦即2λ≤e^x（-x²+2）在[-2，0]上恒成立．即2λ≤[e^x（-x²+2）]_min在[-2，0]恒成立．…（8分）
令h（x）=e^x（-x²+2），而h'（x）=e^x（-x²-2x+2）…（10分）
当[-2，0]时，-x²-2x+2＞0，从而h'（x）=e^x（-x²-2x+2）＞0
∴h（x）在[-2，0]为增函数，∴[h(x)]min＝h(−2)＝−
2
e2…（12分）
故λ≤−
1
e2，实数λ的取值范围是(−∞，−
1
e2]．…（13分）

点评：
本题考点： 二次函数的性质；抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查函数解析式的确定，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

∵（x²+mx+n）（x²+2x-1）
=x⁴+2x³-x²+mx³-2mx²-mx+nx²+2nx-n
=x⁴+（2+m）x³+（-1-2m+n）x²+（-m+2n）x-n，
∴要使x²+mx+n与x³+2x-1的乘积中不含有x³项和x²项，
则有2+m=0，-1-2m+n=0，
解得m=-2，n=-3．

点评：
本题考点： 多项式乘多项式．

考点点评： 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，由不含x3与x2项，让这两项的系数等于0，列方程组是解题的关键．

∵（x²+mx+n）（x²+2x-1）
=x⁴+2x³-x²+mx³-2mx²-mx+nx²+2nx-n
=x⁴+（2+m）x³+（-1-2m+n）x²+（-m+2n）x-n，
∴要使x²+mx+n与x³+2x-1的乘积中不含有x³项和x²项，
则有2+m=0，-1-2m+n=0，
解得m=-2，n=-3．

点评：
本题考点： 多项式乘多项式．

考点点评： 本题主要考查了多项式乘多项式的运算，由不含x3与x2项，让这两项的系数等于0，列方程组是解题的关键．

x³-6x²+11x-6=（x-1）（x²+mx+n）=x³+（m-1）x²+（n-m）x-n，
可得m-1=-6，n-m=11，n=6，
解得：m=-5，n=6，
故答案为：-5；6

点评：
本题考点： 多项式乘多项式．

考点点评： 此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．