在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠ABC＝∠ADE＝90°,∠CAB＝30°,∠DAE＝60°,AD＝3,AB＝6√3

方法一（综合法）
（Ⅰ）取OB中点E，连接ME，NE．
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD．
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC或其补角为异面直线AB与MD所成的角．
作AP⊥CD于P，连接MP，
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP，
∵∠ADP＝
π
4，∴DP＝

2
2，MD＝
MA2+AD2＝
2，
∴cos∠MDP＝
DP
MD＝
1
2，∠MDC＝∠MDP＝
π
3．
∴AB与MD所成角的大小为[π/3]．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO，所在直线为x，y，z轴建立坐标系．
A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，

2
2，0)，D(−

2
2，

2

点评：
本题考点： 异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查了利用综合法或向量法证明线面平行和异面直线所成的夹角，考查了三角形的中位线定理和菱形的性质、面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、异面直线所成的角、线面平行于法向量的关系、向量的夹角公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

（1）∵OA⊥底面ABCD，∴OA为三棱锥O-BCD的高，OA=2，
在△BCD中，∠BCD=[3π/4]，
∴S_△BCD=[1/2]×1×1×

2
2=

2
4，
∴V_B-OCD=V_O-BCD=[1/3]×

2
4×2=

2
6；
（2）连接MC，
∵AB∥CD，∴∠CDM为异面直线AB与MD所成的角，
∵∠ABC=[π/4]，∴AC=
1+1−2×1×1×

2
2

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题考查了利用三棱锥的换底性求三棱锥的体积，考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题．

（1）根据线面垂直的判定定理可知，关键是证明 ，那么得到结论。
（2）


<>

（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB=A，
∴PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，
∴AC⊥BC．
∴BC⊥平面PAC．（4分）
（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴DE=[1/2]BC，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，
∴AD=
1

2AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
∴BC=[1/2]AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=[DE/AD]=[BC/2AD]=

2
4，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是

2
4．（12分）
（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=a，
由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），B(−
1
2a，

3
2a，0)，C(0，

3
2a，0)．
（1）∵

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．

考点点评： 本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力．

∵S_△ABC=[1/2bcsinA=
3
3
2]，b=2，c=3，
∴sin∠BAC=

3
2，又△ABC为锐角三角形，
∴∠BAC=60°，cos∠BAC=[1/2]，
∵O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵b=2，c=3，cos∠BAC=[1/2]，
∴根据余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos∠BAC=4+9-6=7，
解得：a=
7，
由正弦定理可得：2r=[a/sinA]=
2
21
3，∴r=

21
3，
则

OB•

OC=|OB|•|OC|cos∠BOC=

21
3•

21
3•cos120°=-[7/6]．
故答案为：-[7/6]

点评：
本题考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算．

考点点评： 此题考查了三角形的面积公式，圆周角定理，正弦定理，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键．

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，

2
2，0)，D(−

2
2，

2
2，0)，
O（0，0，2），M（0，0，1）
（Ⅰ）设AB与MD所成的角为θ，
∵

AB＝(1，0，0)，

MD＝(−

2
2，

2
2，−1)，
∴cosθ＝
|

点评：
本题考点： 与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本小题主要考查直线与平面所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．

因为△ABC中，AB=2，AC=3，若“∠ABC＝π3”成立，则有正弦定理得ABsinC＝ACsinB即2sinC＝3sinπ3即sinC＝33＞12，因为AB=2＜AC=3，所以C＜B=π3，所以C＞π6，所以B+C＞π2，所以A为锐角，所以△ABC为锐角三角形；...

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后两边互相推一下，利用充要条件的有关定义进行判断，属于中档题．

∵S△ABC＝
1
2bcsinA＝
3，sinA=sin120°=

3
2，
∴bc=4①，（4分）又cosA=cos120°=-[1/2]，且a=
21，
根据余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：21=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
即（b+c）²=25，开方得：b+c=5②，（8分）
而c＞b，联立①②，求得b=1，c=4．（10分）

点评：
本题考点： 解三角形；正弦定理；余弦定理．

考点点评： 此题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键，学生在求出b和c值时注意利用c＞b这个条件．

（1）取AB 中点为O，连接PO，CO，
∵△PAB 是等边三角形，
∴PO⊥AB，
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴OC为PC在底面ABCD上的射影，
又∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∠DAB=[π/2]，
∴△DAB≌△OBC，∴∠BCO=∠DBA，
∴BD⊥OC，∴BD⊥PC．
（2）取PC中点E，连接BE，DE，
∵PB=BC，
∴BE⊥PC，
又∵BD⊥PC，BE∩BD=B，
∴PC⊥平面BDE
，∴PC⊥DE，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=[π/2]，
∴BE=[1/2]PC=
2，PD=BD=
5，
∴DE=
3，
∴BE²+DE²=BD²，
∴∠BED=[π/2]．
即二面角B-PC-D的大小为：[π/2]．

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评： 本题主要考察空间中直线和直线之间的位置关系以及二面角的求法．一般在证明线线垂直时，通常先证明线面垂直，进而推得线线垂直，或用三垂线定理或其逆定理．