已知函数f(x)＝1−ax−ax+lnx (a∈R)

解题思路：（1）求导函数，令x＝

1

2

，即可求得切线的斜率；
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数的单调区间；
（3）原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值[1/2]，由此可求实数b的取值范围．

（1）∵a=0，∴f(x)＝
1
x+lnx，
∴f′(x)＝−
1
x2+
1
x
则f（x）在x＝
1
2处切线的斜率k＝f′(
1
2)＝−2…（4分）
（2）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f′(x)＝−
ax2−x+1−a
x2
①当a=0时，f′(x)＝−
1
x2+
1
x，令f'（x）=0，解得x=1，
∴x∈（0，1），f'（x）＜0；x∈（1，+∞），f'（x）＞0
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）…（6分）
②当0＜a＜
1
2时，f′(x)＝−
ax2−x+1−a
x2＝0，解得x₁=1或x2＝
1
a−1且x₁＜x₂
列表

x （0，1） 1 （1，[1/a−1）
1
a−1 （
1
a−1，+∞）
f′（x） - 0 + 0 -
f（x） ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓由表可知函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为(1，
1
a−1)，单调递减区间为(
1
a−1，+∞)；
③当a＝
1
2]时，f′(x)＝−
(x−1)2
2x2≤0，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…（10分）
（3）a＝
1
4∈(0，
1
2)，f′(x)＝−
(x−1)(x−3)
4x2＝0，解得x₁=1或x₂=3
∵x∈（0，2），∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，2），
∴f（x）的最小值为f(1)＝
1
2
原命题等价于g（x）在x∈[1，2]的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值[1/2]，
又g（x）=x²-2bx+3x∈[1，2]
①当b＜1时，g（x）的最小值为g（1）=4-2b＞2，不合；
②当b∈[1，2]时，g（x）的最小值为g(b)＝3−b2≤
1
2，解得

10
2≤b≤2；
③当b∈（2，+∞）时，g（x）的最小值为g(2)＝7−4b≤
1
2，解得b＞2，
综上，b的取值范围[

10
2，+∞)． …（14分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查切线的斜率，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．