a1=1/3 a(n+1)=√(an+1)/2 是单增还是单减?

a1=1,a1+2a2+3a3+.+nan=(n+1)(a(n+1))/2,
令n=1得：a1=2a2/2,a2=1.
当n≥2时,a1+2a2+3a3+.+(n-1)a(n-1)=na(n)/2,
两式相减得：nan=(n+1)(a(n+1))/2 -na(n)/2,
3na(n)/2=(n+1)(a(n+1))/2,
a(n+1) /a(n)= 3n/(n+1)( n≥2),
所以a3/a2=3•2/3,
a4/a3=3•3/4,
a5/a4=3•4/5,
…………
a(n) /a(n-1)= 3(n-1)/n
以上各式相乘得：a(n) / a2=3^(n-2)•2/n( n≥2),
a(n)=3^(n-2)•2/n ( n≥2),
综上可知：n=1时,a(n)=1.
n≥2时,a(n)=3^(n-2)•2/n.

1）Sn-(Sn-1)=[n(an+1)-(n-1)an]/2=an
整理得到n/(n+1)=an/(an+1)
利用迭乘法得到n≥2时,an=n
因为a1=s1=1*a2/2=1,所以a1也符合an=n
所以数列an的通项公式为an=n
而an+1-an=1,所以｛an+1 - an｝是一个an=1的常数列,也就是公差为0的等差数列
2）bn=1/(2n+1)(2n-1)
因为1/(2n-1)-1/(2n+1)=2/(2n+1)(2n-1)
所以bn=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
Tn=b1+b2+b3+...+bn
=[1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
=[1-1/(2n+1)]/2
=n/(2n+1)
=1/(2+1/n)
因为Tn>k/57对一切n∈正自然数都成立,所以k/57应小于Tn的最小值
因为Tn=1/(2+1/n),所以当n=1时Tn最小,此时Tn=1/3
所以1/3>k/57,即k