任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f（x1+x22）＞f(x1)+f(x2)2恒成立，则f（x）称为[a，b]

（1）∵四边形ONEF是矩形，且E（4，3），
∴点M是对角线OE的中点，
∴M（[4/2]，[3/2]），即（2，1.5）．
故答案为：（2，1.5）；

（2）设另一点坐标为P（x，y），
当AP为平行四边形的对角线时，
∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），
∴[−1+x/2]=[3+1/2]，[2+y/2]=[1+4/2]，解得x=5，y=3，
∴P₁（5，3）；
当BP为平行四边形的对角线时，
∵A（-1，2），B（3，1），C（1，4），
∴[3+x/2]=[−1+1/2]，[1+y/2]=[2+4/2]，解得x=-3，y=5，
∴P₂（-3，5）；
当以CP为对角线时，
[x+1/2]=[−1+3/2]，[y+4/2]=[2+1/2]，解得x=1，y=-1，
∴P₃（1，-1）．
综上所述，该点的坐标为P₁（5，3），P₂（-3，5），P₃（1，-1）．

解题思路：本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f（x₁）=f（x₂）（其中x₁≠x₂），则x₁，x₂到对称轴的距离相等，故可得f（

x1+x2

2

）=f（-[b/2a]），由此找到突破口．

由二次函数的性质f（
x1+x2
2）=f（-[b/2a]）=
4ac−b2
4a．
故应选D．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考点是二次函数的图象与性质，主要是考查二次函数的对称性．

解题思路：可取AB的中点D，连接CD，由重心的性质得，CG=2GD，由中点坐标公式和定比分点坐标公式，即可推得．

可取AB的中点D，连接CD，由重心的性质得，CG=2GD，
由于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），
则D（
x1+x2
2，
y1+y2
2），令G（x，y），
则x=
x3+2×
x1+x2
2
1+2=
x1+x2+x3
3，y=
y3+2×
y1+y2
2
1+2=
y1+y2+y3
3．
故答案为：(
x1+x2+x3
3，
y 1+y2+y3
3)．

点评：
本题考点： 类比推理．

考点点评： 本题主要考查类比推理的应用，同时考查中点坐标公式，定比分点坐标公式，是一道基础题．

解题思路：本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f（x₁）=f（x₂）（其中x₁≠x₂），则x₁，x₂到对称轴的距离相等，故可得f（

x1+x2

2

）=f（-[b/2a]），由此找到突破口．

由二次函数的性质f（
x1+x2
2）=f（-[b/2a]）=
4ac−b2
4a．
故应选D．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考点是二次函数的图象与性质，主要是考查二次函数的对称性．

解题思路：本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f（x₁）=f（x₂）（其中x₁≠x₂），则x₁，x₂到对称轴的距离相等，故可得f（

x1+x2

2

）=f（-[b/2a]），由此找到突破口．

由二次函数的性质f（
x1+x2
2）=f（-[b/2a]）=
4ac−b2
4a．
故应选D．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考点是二次函数的图象与性质，主要是考查二次函数的对称性．

f（x）是[a，b]上的凸函数，它的几何意义是
函数在区间[a，b]上的图象是上凸的
由此判断，y=sinx，x∈[−
π
2，0]上的图象是下凹的，不符合题意，故A不正确；
y=2-x²，x∈[0，2]上的图象是开口向下的抛物线，符合上凸，故B正确；
y=x²-x，x∈[-2，1]上的图象是开口向上的抛物线，不符合题意，故C不正确；
y=x²，x∈[0，2]上的图象是开口向上的抛物线，不符合题意，故D不正确；
故选B

解题思路：利用严格凸函数定义，结合函数的图象可得①、②都是正确的；取k=1，证明函数y=x+[k/x]在区间（-∞，0）上为严格凸函数

利用严格凸函数定义，可得①、②都是正确的；
取k=1，则任给x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁≠x₂，f（
x1+x2
2）=
x1+x2
2+[2
x1+x2，

f(x1)+f(x2)/2]=
(x1+
1
x1)+(x2+
1
x2)
2=
x1+x2
2+
x1+x2
2x1x2，
因为（x₁+x₂）²＞4x₁x₂，且x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，
所以[2
x1+x2＞
x1+x2
2x1x2，即f（
x1+x2/2]）＞
f(x1)+f(x2)
2，
所以③是正确的，故正确命题个数为3．
故选：D．

点评：
本题考点： 进行简单的合情推理．

考点点评： 本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．

解题思路：由已知中凸函数的定义，结合四个答案中的图象，逐一分析任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂时，f（

x1+x2

2

）与

f(x1)+f(x2)

2

大小关系，比照定义可得答案．

∵任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，都有f（
x1+x2
2）＞
f(x1)+f(x2)
2成立
∴函数f（x）是[a，b]上的凸函数
任取x₁、x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，
则A中，f（
x1+x2
2）=
f(x1)+f(x2)
2成立，故A不满足要求；
则B中，f（
x1+x2
2）＜
f(x1)+f(x2)
2成立，故B不满足要求；
则C中，f（
x1+x2
2）＞
f(x1)+f(x2)
2成立，故C满足要求；
则D中，f（
x1+x2
2）与
f(x1)+f(x2)
2大小不确定，故D不满足要求；
故选C

点评：
本题考点： 函数的图象与图象变化．

考点点评： 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中正确理解已知中凸函数的定义，是解答本题的关键．

解题思路：本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f（x₁）=f（x₂）（其中x₁≠x₂），则x₁，x₂到对称轴的距离相等，故可得f（

x1+x2

2

）=f（-[b/2a]），由此找到突破口．

由二次函数的性质f（
x1+x2
2）=f（-[b/2a]）=
4ac−b2
4a．
故应选D．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考点是二次函数的图象与性质，主要是考查二次函数的对称性．

解题思路：本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f（x₁）=f（x₂）（其中x₁≠x₂），则x₁，x₂到对称轴的距离相等，故可得f（

x1+x2

2

）=f（-[b/2a]），由此找到突破口．

由二次函数的性质f（
x1+x2
2）=f（-[b/2a]）=
4ac−b2
4a．
故应选D．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考点是二次函数的图象与性质，主要是考查二次函数的对称性．

解题思路：本题是二次函数的对称问题，由二次函数的性质知道，f（x₁）=f（x₂）（其中x₁≠x₂），则x₁，x₂到对称轴的距离相等，故可得f（

x1+x2

2

）=f（-[b/2a]），由此找到突破口．

由二次函数的性质f（
x1+x2
2）=f（-[b/2a]）=
4ac−b2
4a．
故应选D．

点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题考点是二次函数的图象与性质，主要是考查二次函数的对称性．