因式定理问题f(x)是3次多项式,且f(2)=f(-1)=f(4)=3,f(1)=-9则f(0)=?

1 因式定理告诉我们：分解一次因式等价于求多项式的根.下面证明：
对于多项式f(x),做带余除法,被除式为(x-a),则f(x)=(x-a)*q(x)+r,其中r是常数,若x=a是多项式的根,即f(a)=0,则r=0,所以f(x)=(x-a)*q(x),所以x-a是该多项式的一个因式
2 将x=q/p带入得 an(q/p)n+an-1(q/p)n-1+.+a1(q/p)+a0=0,等式两边乘以p的n-1次方得an*qn/p+整数=0,则p时an的约数,若将原式乘以q的n次方再除以p得a0*pn/q+整数=0,所以q时a0的约数
3 特别地,对于an=1,如果x-q是它的因式,那么q一定是常数项的约数

X^2Y-Y^2Z+Z^2X-X^2Z+Y^2X+Z^2Y-2XYZ
=X^2Y+Y^2X-Y^2Z+Z^2Y-XYZ+Z^2X-X^2Z-XYZ
=XY(X+Y)+YZ(Z-Y-X)+XZ(Z-X-Y)
=XY(X+Y)+Z(Z-X-Y)(X+Y)
=(X+Y)[XY+Z(Z-X-Y)]
=(X+Y)(XY+Z^2-ZX-ZY)
=(X+Y)(Z^2-ZX+XY-ZY)
=(X+Y)[Z(Z-X)+Y(X-Z)]
=(X+Y)(X-Z)(Y-Z)

（x+y+z）5次方-x5次方-y5次方-z5次方 =[（x+y+z)^5-x^5]-(y^5+z^5) =（x+y+z-x）[(x+y+z)^4+x(x+y+z)^3+ x^2(x+y+z)^2+x^3(x+y+z)+x^4]- (y+z)(y^4-y^3z+y^2z^2-yz^3+z^4) =(y+z)[(x+y+z)^4+x(x+y+z)^3+x^2(x+y+z)^2+x^3(x+y+z)+x^4-y^4+y^3z-y^2z^2+yz^3-z^4]

解:由于f(x)=x^2+mx+n,既是多项式x^4+6x^2+25的因式,又是多项式
3x^4+4x^2+28x+5的因式,∴f(x)必是后面两个多项式的公因式.
而x^4+6x^2+25=(x^2+5)^2-(2x)^2=(x^2+2x+5)(x^2-2x+5)
3x^4+4x^2+28x+5=3x^2(x^2-2x+5)+6x(x^2-2x+5)+(x^2-2x+5)
=(x^2-2x+5)(3x^2+6x+1).
∴f(x)=x^2-2x+5

原式=（x^4+2x^3y-3x^2y^2）-（4xy^3-4y^4）
=x^2（x^2+2xy-3y^2）-4y^3(x-y)
=x^2（x+3y）(x-y)-4y^3(x-y)
=(x^2-4y^3)（x+3y）(x-y)

（1）3x^3+21x^2+48x+36
=3（x^3+7x^2+16x+12）
=3（x^3+2x^2+5x^2+10x+6x+12）
=3[x^2（x+2)+5x（x+2)+6（x+2)]
=3（x+2)(x^2+5x+6)
=3（x+2)(x+2)(x+3)
(2)被除式÷除式=商式……余式
所以除式p(x)=（被除式-余式）÷商式=（x^3+x^2-11x-2+6)÷（x^2-3x+1）=x+4 （可以列竖式算）
求当x^3+2x^2-3x+8除以p(x)时
（x^3+2x^2-3x+8)÷（x+4）=（x^2-2x+5）……(-2)
即求当x^3+2x^2-3x+8除以p(x)时所得的馀式是-2

设f(x)=x^3-(3yz)x+y^3+z^3
其中y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2),即f(x)=x^3-(3yz)x+(y+z)(y^2-yz+z^2)
尝试得(x+(y+z))为原式的因式,因为f(-(y+z))=-(y+z)^3+(3yz)(y+z)+y^3+z^3=0
于是用大除法计算(x^3-(3yz)x+y^3+z^3)/(x+(y+z)),得到另一因式为x^2-(y+z)x+y^2+z^2-yz
最后整理得到(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)

（1）原式=[（a+b)³+c³]+[(b+c)³+a³]+[(c+a)³+b³]
=(a+b+c)[(a+b)²-(a+b)c+c²+(b+c)²-(b+c)a+a²+(c+a)²-(c+a)b+b²]
=3(a+b+c)(a²+b²+c²)
(2)x=-1代入原式=0 ∴(x+1)是它的一个因式
原式=[(L+m)x³+(L+m)x²]+[(2L+m-n)x²+(2L+m-n)x]+[(-2m-2n)x-2(m+n)]
=(x+1)[(L+m)x²+(2L+m-n)x-2(m+n)]
=(x+1)(x+2)[(L+m)x-(m+n)]
=(x+1)(x+2)[(L+m)x-m-n]

十字相乘法 双十字相乘法 待定系数法 配方法
短除法.

因式定理基本概念：
即为余式定理的推论之一：
如果多项式f(a)=0,那么多项式f(x)必定含有因式x-a.
反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么,f(a)=0.

13=4+9
所以(x²-4x+4)+(y²+6y+9)=0
(x-2)²+(y+3)²=0
平方大于等于0,相加等于0
若有一个大于0,则另一个小于0,不成立.
所以两个都等于0
所以x-2=0,y+3=0
x=2,y=-3

一个整系数四次多项式f(x)对于四个不同的整数a,b,c,d有f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=1 ,所以
f(a)-1=0
f(b)-1=0
f(c)-1=0
f(d)-1=0
所以a,b,c,d是方程f(x)-1=0的解
所以f(x)-1可以表示为
f(x)-1=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
所以
f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+1(k是整数)
若f(m)=-1
则k(m-a)(m-b)(m-c)(m-d)=-2=-1*2
因为a,b,c,d各不相同,所以
(m-a),(m-b),(m-c),(m-d)也各不相同,显然这样的四个数的乘积不会等于2,(因为最多只能有一个1和一个-1,其余两个若有一个为零,则结果为0,不然,剩余的两个数只能是绝对值大于等于2的数,它们的乘积不可能等于-2),所以m不存在

根据题意,设多项式f(x)=(x-a)P,
则f(a)=(a-a)P=-2aP=0
f(x)表示一个函数式,表示的是以x为未知数的函数方程式.与y=(x-a)意义相同.
题目未写完,求a的值缺乏条件,多项式P也缺乏条件.

x³-5x+4
=x³-x²+x²-5x+4
=x²(x-1)+(x-1)(x-5)
=(x-1)(x²+x-5)
2x³-9x²+x+12
=2x³+2x²-(11x²-x-12)
=2x²(x+1)-(x+1)(11x-12)
=(x+1)(2x²-11x+12)
=(x+1)(x-4)(2x-3)

意思是：若多项式f(x)的系数和为0,f(x)可分解为(x-1)和另一个多项式的乘积,下一个一样道理.
证明是很明显的,你设个多项式,用a,b,c,d等,不要用数字,打厂字相除,就能明白为什么.

因式定理
即为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0,那么多项式f(x)必定含有因式x-a.反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么,f(a)=0.
余数定理
多项式余数定理是指一个多项式 f(x) 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f(a).

题目应是x^3+2x^2—5x—6
=x^3+x^2+x^2-5x-6
=x^2(x+1)+(x+1)(x-6)
=(x+1)(x^2+x-6)
=(x+1)(x-2)(x+3)
第二题请补充完整
x^3+5x—22x—56
=
x^3+5x^2+3x—9
=x^3-x^2+6x^2+3x-9
=x^2(x-1)+3(2x^2+x-3)
=x^2(x-1)+3(2x+3)(x-1)
=(x-1)(x^2+6x+9)
=(x-1)(x-3)^2
x^4+2x^3—9x^2—2x+8
=x^4+2x^3+x^2—10x^2—2x+8
=x^2(x^2+2x+1)-2(5x^2+x-4)
=x^2(x+1)^2-2(5x-4)(x+1)
=(x^2(x+1)-2(5x-4))(x+1)
=(x^3+x^2-10x+8)(x+1)
=(x^3-x^2+2x^2-10x+8)(x+1)
=(x^2(x-1)+2(x^2-5x+4))(x+1)
=(x^2(x-1)+2(x-1)(x-4))(x+1)
=(x^2+2x-8)(x-1)(x+1)
=(x-2)(x+4)(x-1)(x+1)
2a^4—a^3—6a^2—a+2
=a^3(2a-1)-(6a^2+a-2）
=a^3(2a-1)-(3a+2)(2a-1）
=(a^3-(3a+2))(2a-1）
=(a^3+a^2-a^2-3a-2)(2a-1）
=(a^2(a+1)-(a^2+3a+2))(2a-1）
=(a^2(a+1)-(a+2)(a+1))(2a-1）
=(a^2-a-2)(a+1)(2a-1）
=(a-2)(a+1)(a+1)(2a-1）
=(a-2)(a+1)^2(2a-1）
x^4—10x^3+35x^2—50x+10
=x^4-10x^3+25x^2+10x^2-50x+10
=x^2(x^2-10x+25)+10x(x-5)+25-15
=(x(x-5)+5)^2-15
=(x^2-5x+5)^2-15
=(x^2-5x+5+√15)(x^2-5x+5-√15)
2x^3—9x^2+x+12
=2x^3-8x^2-x^2+x+12
=2x^2(x-4)-(x^2-x-12)
=2x^2(x-4)-(x+3)(x-4)
=(2x^2-x-3)(x-4)
=(2x-3)(x+1)(x-4)
9x^4—3x^3+7x^2—2x—2
此题也分解不出来
1.方程xy—2x—2y+7=0的整数解（x小于等于y）为：________
xy-2x-2y+7=0
（xy-2x-2y+4）+3=0
(x-2)(y-2)=-3
x-2与y-2异号且x,y均为整数,
-3的公因式组为-1×3,1×（-3）
因为x≤y
当x-2＝1时,y-2＝-3
即x＝3,y＝-1（舍去）
当x-2＝-1时,y-2＝-3
即x＝1,y＝-1（舍去）
当x-2＝-3时,y-2＝1
即x＝-1,y＝3
当x-2＝3时,y-2＝-1
即x＝5,y＝1（舍去）
所以x＝-1,y＝3
2.若x满足x^5+x^4+x=-1,则x^1998+X^1999+……+X^2004的值是___________
X^5+ X^4+ X=-1
移项 合并同类项 （X^5+ X^4）+ （X+1）=0
得 （X+1)(X^4+1)=0
由于X^4>=0 所以 X^4+1>=1>0
故 只能X+1=0 得X=-1
因此X^1998+x^1999 .X^2004=(-1)^1998+(-1)^1999+...+(-1)^2004=1-1+1-1+1-1+1=1
3.2x—3=0,那么代数式x（x^2—x）+x^2（5—x）—9的值是_________
x（x^2-x）+x^2（5-x）-9
=x^3-x^2+5x^2-x^3-9
=4x^2-9
=（2x+3）（2x-3）
=（2x+3）×0
=0

【参考答案】
设该三次多项式为
f(x)=(4x+1)(ax²+bx+c)=4ax³+(a+4b)x²+(b+4c)x+c
根据多项式除以多项式竖式计算方法,
f(x)/(x²+x)=4ax+(4b-3a),余数是(3a-3b+4c)x+c
f(x)/(x-2)=4ax²+(9a+4b)x+(18a+9b+4c),余数是36a+18b+9c
∴ 3a-3b+4c=-8
c=-2
36a+18b+9c=36
解得 a=b=1,c=-2
∴ 所求多项式为4x³+5x²-7x-2

确实已经是最简式了

证明:(方法一)根据余式定理,f(x)除以x-a的余式是f(a),若f(a)=0则显然f(x)含有因式x-a.
(方法二)设f(x)是n次多项式,则在复数域上可以分解成n个一次因式的乘积.若这些一次因式中不含有x-a则将a代入后每一项都不为0,则乘积f(a)≠0,矛盾.所以f(x)含有因式x-a

1．双十字相乘法 分解二次三项式时,我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式． 例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式． 对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为 即 -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 所以 原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕 =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 上述因式分解的过程,实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起,可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 这就是所谓的双十字相乘法． 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx． 例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2． 解(1) 原式=(x-5y+2)(x+2y-1)． (2) 原式=(x+y+1)(x-y+4)． (3)原式中缺x2项,可把这一项的系数看成0来分解． 原式=(y+1)(x+y-2)． (4) 原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)． 说明(4)中有三个字母,解法仍与前面的类似． 2．求根法 我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如 f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x) f(1)=12-3×1+2=0； f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12． 若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根． 定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a． 根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根． 因式定理f(x)是一个以x为自变量的函数,例如：y=x,也可写成f(x)=x,意思是一样的.f(a)=0,是说这个函数f(x)中,当x=a时,函数值为0因式定理就是找满足f(a)=0条件中的a,这个找的过程可以口算.之后该因式中就有x-a这个因式了（因为当x=a时,f(a)=0,即x-a=0时,f(a)=0）,确定了一个因式为x-a,就可以用综合除法,或者有理式除法解题了.（综合除法更简便,但不是一句两句能说清楚的,需要纸笔演示,这里就不细说了,建议你问问老师） 求根法就是用判别式求出式子的根,假设根是a,b,c……那么原式可写成(x-a)(x-b)(x-c)……举个很简单的例子：x^3+2x^2-3x,方程x^3+2x^2-3x=0三根为0,-3和1,则原式=x(x+3)(x-1).这就是求根法.目的是求出原式=0时,方程的根.因式定理（综合除法）用电脑打字也说不清楚 均值不等式高二学

是关于X的函数

可以被x+4整除,就是当x=-4时,原式可以为0,
即 16a-4b+c=0 (1)
x=3时, 即f(3)=9a+3b+c=0 (2)
解(1)(2)两式,可得
7a-7b=0, 即 a=b
又原式=a(x-b/2a)^2 - b^2/4a + c
显然最大值是当x=b/2a=1/2时
a/4+b/2+c=49
3a/4+c=49 (3)
从(1)式可得 12a+c=0 (4)
解(3)(4)可得 45a=-196, a=b=-196/45, c=-12a=784/15

你没搞懂
ax^2+bx+c=0
求出两根为x1,x2
则原式等于a（x-x1）（x-x2）
别忘了在分解前先看一下最高次项的系数是否唯一,如果不是就如我上面的式子一样加一个“a”,
你在（X-0.5）（X+3）前加一个2就正确了
2（X-0.5）（X+3）

f(x)是一个以x为自变量的函数,例如：y=x,也可写成f(x)=x,意思是一样的.f(a)=0,是说这个函数f(x)中,当x=a时,函数值为0
因式定理就是找满足f(a)=0条件中的a,这个找的过程可以口算.之后该因式中就有x-a这个因式了（因为当x=a时,f(a)=0,即x-a=0时,f(a)=0）,确定了一个因式为x-a,就可以用综合除法,或者有理式除法解题了.（综合除法更简便,但不是一句两句能说清楚的,需要纸笔演示,这里就不细说了,建议你问问老师）
求根法就是用判别式求出式子的根,假设根是a,b,c……那么原式可写成(x-a)(x-b)(x-c)……
举个很简单的例子：x^3+2x^2-3x,方程x^3+2x^2-3x=0三根为0,-3和1,则原式=x(x+3)(x-1).这就是求根法.目的是求出原式=0时,方程的根.
因式定理（综合除法）用电脑打字也说不清楚