矩阵正定的判断设A是正定矩阵，试证存在满秩矩阵P，使A＝P∧TP

旋啊旋啊璇2022-10-04 11:39:541条回答

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营业执照共回答了18个问题 | 采纳率83.3%: A是实对称矩阵，则存在满秩矩阵Q使得A=QDQ^T，其中D是A的合同标准型
然后想想正定阵的标准型是什么; 1年前

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反例：
X=
1 2
-1 1
A=
-4 5
-10 -4
AX+X^TA^T=
-18 -9
-9 -48
AX^T+XA^T=
12 -9
-9 12

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由于A是正定阵,则对角阵C的主对角元上的元素均为正实数,构造对角阵D,使D的主对角线元素正好是C的主对角元素开m次方.则D^m=C.
令B=（P^T）DP,则B是正定矩阵.（首先B是对称矩阵,其次因为B和D相似,而D的特征值均为正,所以B的特征值也均为正.）
且B^m=(（P^T）DP)^m=（P^T）D^mP=（P^T）CP=A.

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因 A'A对称,可以对角化为 P diag(a1,...,an ) P',P是正交阵
取 a > |ai|,i = 1,2,...,n
则 aIn + A'A = P diag(a+a1,...,a+an) P',特征值都是正数,
从而正定.

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