f(x)=6cos2x+5sinx-4/2cos2x-1,求它的奇偶性.

f(x)=[6(cosx)^2+5(1-(cosx)^2)-4]/[2(cosx)^2-1]
=[(cosx)^2+1]/[2(cosx)^2-1]
这是一个分式,定义域就是分母不为0的地方,即[2(cosx)^2-1]≠0
算出来x≠（2k+1）π/4
下面求值域：
f(x)=[(cosx)^2+1]/[2(cosx)^2-1]=½+3/2[2(cosx)^2-1]=½+3/2cos2x
cos2x属于【-1,0）,（0,1】
所以3/2cosx属于(-∞,-3/2 】,【3/2,+∞)
因此,f(x)值域为(-∞,-1 】,【2,+∞) （因为要加上前面的1/2）

解题思路：根据诱导公式和两角差的余弦公式，化函数为f（x）=cos（2x−

π

6

），再结合余弦函数单调区间的结论，求出函数在R上的单调区间，将其与区间[−

π

2

，

π

2

]取交集，即可得到所求的单调递增区间．

∵cos[5π/6]=-cos[π/6]
∴f(x)＝sin2xsin
π
6−cos2xcos
5π
6=sin2xsin
π
6+cos2xcos
π
6=cos（2x−
π
6）
令-π+2kπ≤2x−
π
6≤2kπ，得-[5π/12]+kπ≤x≤[π/12]+kπ，（k∈Z）
∴函数的单调递增区间为[-[5π/12]+kπ，[π/12]+kπ]，（k∈Z）
取k=0，得函数在[−
π
2，
π
2]上的单调递增区间为[-[5π/12]，[π/12]]
故答案为：[-[5π/12]，[π/12]]

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题将一个三角函数式化简，并求函数的增区间，着重考查了诱导公式、三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．

y=2*（根号下3）*sin2x-6cos2x
=4根号3*[sin2x*1/2-cos2x*根号3/2]
=4根号3*sin(2x-Pai/3)
所以,最大值=4根号3,最小值=-4根号3
最小正周期T=2Pai/2=Pai

解题思路：（I）利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解函数的最大值及周期
（II）由f（A）=3-2

3

，结合A的范围可求A，进而可求C，然后由三角函数的定义可知

a

c

＝sinA，代入可求

（I）f（x）=6cos²x-
3sin2x=3+3cos2x-
3sin2x=2
3cos（2x+[π/6]）+3
∴f（x）的最大值为2
3+3，周期T=π
（II）由f（A）=3-2
3可得2
3cos(2A+
π
6)+3＝3−2
3
∴cos（2A+[π/6]）=-1
∵0＜A＜
1
2π
∴[π/6＜2A+
π
6＜
7π
6]
∴2A

点评：
本题考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数的化简中的应用，解题的关键是公式的熟练应用．

答：
f(x)=6cos²x-2√3sinxcosx
=3*(cos2x+1)-√3sin2x
=3cos2x-√3sin2x+3
=2√3*[(√3/2)cos2x-(1/2)sin2x]+3
=2√3cos(2x+π/6)+3
1）
f(x)的最小正周期T=2π/2=π
值域为[3-2√3,3+2√3]
2）
f(B)=2√3cos(2B+π/6)+3=0
cos(2B+π/6)=-√3/2
2B+π/6=5π/6
B=π/3
根据正弦定理：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以：
a/(4/5)=2/sin(π/3)=c/sinC=2R
解得：a=16√3/15
sinC=sin(A+B)
=sinAcosB+cosAsinB
=(4/5)*(1/2)+(3/5)*(√3/2)
=(4+3√3)/10

解题思路：利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用函数的平移伸缩变换推出函数的解析式，然后判断函数的奇偶性，对称性、单调性即可得到选项．

函数f（x）=
2sin2x+
6cos2x=2
2sin（2x+[π/3]）．
函数f（x）的图象向右平移[π/4]个单位，得到f（x）=2
2sin[2（x-[π/4]）+[π/3]]═2
2sin（2x-[π/6]）．
再把横坐标扩大到原来的2倍得到函数y=g（x）=2
2sin（x-[π/6]）．
函数y=g（x）在[0，[π/2]]上是单调递增函数，A不正确；
x=[π/2014]时，g（x）=2
2sin（x-[π/6]）≠0．
∴函数y=g（x）图象的一个对称中心为（[π/2014]，0），不正确；
函数y=g（x+φ）为偶函数时，其中一个φ=-[π/3]，正确；
x=[3π/4]时，g（x）=2
2sin（x-[π/6]）≠±2
2，函数y=g（x）图象关于直线x=[3π/4]对称，不正确；
故选：C．

点评：
本题考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

考点点评： 本题考查三角函数的化简求值，三角函数的基本性质的应用，考查计算能力．

解题思路：利用根据二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，确定m的不等式关系，进而利用x的范围和正弦函数的性质确定

6

sin(

x

2

+

π

6

)的范围，进而求得m的范围．

f(x)＝3
2sin
x
4cos
x
4+
6cos2
x
4−

6
2−m＝
3
2
2sin
x
2+

6
2cos
x
2−m，=
6sin(
x
2+
π
6)−m≤0，
∴m≥
6sin(
x
2+
π
6)，
∵−
5π
6≤x≤
π
6，
∴−
π
4≤
x
2+
π
6≤
π
4，
∴−
3≤
6sin(
x
2+
π
6)≤
3，
∴m≥
3．
故选A

点评：
本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的最值问题，不等式恒成立的问题．涉及了知识面较多，考查了知识的综合性．

解题思路：根据诱导公式和两角差的余弦公式，化函数为f（x）=cos（2x−

π

6

），再结合余弦函数单调区间的结论，求出函数在R上的单调区间，将其与区间[−

π

2

，

π

2

]取交集，即可得到所求的单调递增区间．

∵cos[5π/6]=-cos[π/6]
∴f(x)＝sin2xsin
π
6−cos2xcos
5π
6=sin2xsin
π
6+cos2xcos
π
6=cos（2x−
π
6）
令-π+2kπ≤2x−
π
6≤2kπ，得-[5π/12]+kπ≤x≤[π/12]+kπ，（k∈Z）
∴函数的单调递增区间为[-[5π/12]+kπ，[π/12]+kπ]，（k∈Z）
取k=0，得函数在[−
π
2，
π
2]上的单调递增区间为[-[5π/12]，[π/12]]
故答案为：[-[5π/12]，[π/12]]

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性．

考点点评： 本题将一个三角函数式化简，并求函数的增区间，着重考查了诱导公式、三角恒等变形和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．