1×1+2×2+3×3+---+n×n=n(n+1)(2n+1)/6

rush_life2022-10-04 11:39:541条回答

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cd4i5 共回答了13个问题 | 采纳率92.3%: 1.数学归纳法
2.
二项定理：
(k+1)^3-k^3=1+3k+3k^2
所以
2^3-1^3=1+3*1+3*1^2
3^3-2^3=1+3*2+3*2^2
……
(n+1)^3-n^3=1+3*n+3*n^2
左边加到一起,右边也加到一起
(n+1)^3-1^3=n+3*n(n+1)/2+所求
整理即可; 1年前

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数学归纳法可以证
也可以如下做比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...

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证明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6
1,N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2,N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3,设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋……＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时,
1＋4＋9＋……＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4,综上所述,平方和公式1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6成立,得证.

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S=1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6的证明 冰舟piao1年前1: sno8748 共回答了16个问题 | 采纳率100%

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
……
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
相加
(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+……+n^2)+3*(1+2+……+n)+n
1+2+……+n=n(n+1)/2
所以1^2+2^2+……+n^2=[(n+)^3-1-3n(n+1)/2-n]/3
整理得1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

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1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 一个很好玩的做法 想像一个有圆圈构成的正三角形, 第一行1个圈,圈内的数字为1 第二行2个圈,圈内的数字都为2, 以此类推 第n行n个圈,圈内的数字都为n, 我们要求的平方和,就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和.设这个数为r 下面将这个三角形顺时针旋转60度,得到第二个三角形 再将第二个三角形顺时针旋转60度,得到第三个三角形 然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加, 我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1 而总共有几个圈呢,这是一个简单的等差数列求和 1+2+……+n=n(n+1)/2 于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1) r=n(n+1)(2n+1)/6 请问“然后,将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加”这一步什么意思?对应是指什么对应什么? 森炫1年前2: 大脸白单眼皮共回答了19个问题 | 采纳率94.7%

就拿第一行来说吧,第一个三角形圈内是1,第二个三角形圈内是n,第三个三角形也是n
那三个三角形第一行位置上有三个数,加起来都等于2n+1
我觉得你把图画出来就会明白了.
话说这个方法真心妙啊

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1^2 2^2 3^2 …… n^2=n(n 1)(2n 1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2 (n-1)^2 n(n-1)]
=n^2 (n-1)^2 n^2-n
=2*n^2 (n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2 1^2-2
3^3-2^3=2*3^2 2^2-3
4^3-3^3=2*4^2 3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2 (n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2 3^2 ...n^2) [1^2 2^2 ...(n-1)^2]-(2 3 4 ...n)
n^3-1=2*(1^2 2^2 3^2 ...n^2)-2 [1^2 2^2 ...(n-1)^2 n^2]-n^2-(2 3 4 ...n)
n^3-1=3*(1^2 2^2 3^2 ...n^2)-2-n^2-(1 2 3 ...n) 1
n^3-1=3(1^2 2^2 ...n^2)-1-n^2-n(n 1)/2
3(1^2 2^2 ...n^2)=n^3 n^2 n(n 1)/2=(n/2)(2n^2 2n n 1)
=(n/2)(n 1)(2n 1)
1^2 2^2 3^2 ...n^2=n(n 1)(2n 1)/6

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已知1的平方加2的平方加3的平方一直加到N的平方等于n（n+1)（2n+1)/6 已知1的平方加2的平方加3的平方一直加到N的平方等于n（n+1)（2n+1)/6 计算π^2+（2π）^2+（3π）^2+··+（10π）^2 结果保留三位有效数字 还有一题 （1*2*4+2*4*8+··+n*2n*4n/1*3*9+2*6*18+n*3n*9n）^2 （* 等于乘以） 正确的快的有加 50分 wxyzyc1年前1: 刀旦共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

π^2+（2π）^2+（3π）^2+··+（10π）^2=π^2(1^2+2^2+……+10^2)=385π^2=3795
因为1*2*4/1*3*9=2*4*8/2*6*18=……=n*2n*4n/n*3n*9n=8/27 所以1*2*4+2*4*8+··+n*2n*4n/1*3*9+2*6*18+n*3n*9n=8/27 所以原式=（8/27）^2=64/729

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这几个公式是如何推导的（1）1^2+2^2+3^2+.+n=n(n+1)(2n+1)/6(2)1^3+2^3+.+n^3 这几个公式是如何推导的 （1）1^2+2^2+3^2+.+n=n(n+1)(2n+1)/6 (2)1^3+2^3+.+n^3=n^2(n+1)^2/4 (3)1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 冰钻泪1年前3: 我们三儿共回答了24个问题 | 采纳率100%

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
(3)
1乘2+2乘3+3乘4+.+n(n+1)
=(1^2+1)+(2^2+2)+……+[(n)^2+n]
=[1^2+2^2+……+(n)^2]+[1+2+……+(n)]
=(n)(n+1)(2n+1)/6+(n+1)(n)/2
=n(n+1)(n+2)/3

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你知道1+2+3+4+……+n=n（n+1）/2吧,那就好办了
你看!
1³-0=3×1²-3×1+1
2³-1³=3×2²-3×1+1
3³-2³=3×3²-3×2+1
……
n³-（n-1）³=3n²-3n+1
等式叠加得
n³=3×（1²+2²+3²+……+n²）-3（1+2+3+……+n）+n
3×（1²+2²+3²+……+n²）=n³+3×n（n+1）/2-n=1/2×（2n³+3n²+n）=1/2×n（n+1）（2n+1）
故1²+2²+3²+……+n²=1/6×n（n+1）（2n+1）

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n=1时,上式左边=1,右边=(1+1)(2+1)/6=1=左边.等式成立；
n=2时,上式左边=1+4=5,右边=(2+1)(4+1)/6=15/6≠左边.等式不成立
由此可知,上式不正确.
----------------------------------------------------
楼主是不是想证明 1+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
用科学归纳法：
1)n=1时,上式左边=1,右边=(1+1)(2+1)/6=1=左边.等式成立
2)设n=k时上式成立,即1+2²+3²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6
则n=k+1时,上式左边
=1+2²+3²+...+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]/6
=(k+1)[2k²+k+6k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
=右边
等式成立
∴由1)和2)可知,上式对所有自然数n都成立.

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n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

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=1^2+2^2+3^2+……+49^2+50^2+51^2+……+100^2+101^2-(1^2+2^2+3^2+……+49^2)
=101×(101+1)×(2×101+1)÷6-49×(49+1)×(2×49+1)÷6
=348551-40425
=308126

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利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
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=(n/2)(n+1)(2n+1)
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=(2n^2+2n+1)(2n+1)
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.
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各式相加有
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=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

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证明一个求和公式请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证明一个求和公式请详细点哦1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证明它怎么从左边推到右边 肃肃宵征1年前3: E420 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

数学归纳法可以证
也可以如下做比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6

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12+22+32+42+……+n2=n+(n+1)(2n+1)/6为什么? 12+22+32+42+……+n2=n+(n+1)(2n+1)/6为什么? 怎么证明啊 粗茶淡饭db1年前1: zdih 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

1^2+2^2+3^2+4^2+.n^2=?利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^3-1=3...

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用数学归纳法证明：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 （n是正整数） 用数学归纳法证明：1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 （n是正整数） 请用数学归纳法证明, 魔客5201年前1: 悲伤快乐共回答了18个问题 | 采纳率100%

数学归纳法：
(1)当n=1时,左边=1,右边=1×2×3、6=1；
(2)假设当n=k时等式成立,则有1²+2²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6
当n=k+1时,1²+2²+...+k²+(k+1)²= k(k+1)(2k+1)/6 +(k+1)²
= (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
即当n=k+1时,等式仍然成立；
总之,对于任意的正整数n,上面的等式成立.
数学归纳法的两步一步都不可少,且证明n=k+1时,等式成立必须要用到假设的结果!

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怎样推理:1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 capgood1年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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证明1*1+2*2+……+n*n = n(n+1)(2n+1)/6 shi20051年前1: redsunning 共回答了15个问题 | 采纳率93.3%

设N=M 则此1*1+2*2+……+M*M=m(m+1)(2m+1)/6
设N=M+1 则此1*1+2*2+……+(m+1)*（m+1）=(m+1)(m+2)(2m+3)/6
两式相减得（m+1）(m+1)=(m+1)(6m+6)/6
(m+1)(m+1)=(m+1)(m+1)
等式成立

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1^2+2^2+3^2+-----+n^2=n(n+1)(2n+1)/6的推导? aishang231年前1: 本大爷乃总攻共回答了17个问题 | 采纳率94.1%

用数学归纳法
1.当n=1时,1^2=1=1*2*3/6
2.假设当n=k时,1^2+2^2+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
则当n=k+1时,
1^2+2^2+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
假设成立
所以1^2+2^2+3^2+-----+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

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一个数学公式的由来1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是怎么推出来的, yyangdd111年前3: ashahaha 共回答了20个问题 | 采纳率90%

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

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如何推出n^2=n(n+1)(2n+1)/6 加菲02041年前2: DD美眉共回答了20个问题 | 采纳率95%

证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时,1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时,1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时,公式成立,即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时,
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

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怎样直接推导整数平方和公式n(n+1)(2n+1)/6? 怎样直接推导整数平方和公式n(n+1)(2n+1)/6? 要直接的推导,再给个并非归纳法的证明. 若宣1年前1: 暗夜孤独共回答了24个问题 | 采纳率79.2%

求^2就从^3入手,求^3就从^4入手,求^t就从^(t+1)入手
因为(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以2^3=1^3+3*1^2+3*1+1
3^3=2^3+3*2^2+3*2+1
……
(n+1)^3=n^3+3n^2+2n+1
所以2^3+3^3+……+(n+1)^3=1^3+2^3+……+3*(1^2+2^2+……+^2)+3(1+2+……+n)+(1+1+……+1)
所以3(1^2+2^2+……+n^2)=n^3+3n^2+2n+1-a-3-[n(n+1)]/2-n
所以S(An)=1^2+2^2+……+n^2=(n^3+3n^2+3n)/3-n(n+1)/2-n/3=n(n+1)(2n+1)/6

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数列“an=n平方”的前n项和为什么是Sn=n(n+1)(2n+1)/6呢 shanshanworld1年前2: tongtong_2004 共回答了12个问题 | 采纳率91.7%

历代数学家辛苦推导出来的公式,不要怀疑吧?不妨用数学归纳法自行证明一下.

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1+2+3+4+……+n=n(n+1)(2n+1)/6 sz草上飞1年前1: time116 共回答了31个问题 | 采纳率93.5%

利用恒等式(n+1)=n+3n+3n+1,可以得到： 1+2+3+4+……+n=1*(2-1)+……n*（n+1-1）=1*2+2*3+……+n*（n+1）-（1+2+……+n）=2*（2C1+3C2+……+（n+1）Cn）（C为排列标志）-n*（n+1）2=（n+2）C3+1-n*（n+1）2=n(n+1)(2n+1)/6

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数学自然数平方和公式怎么推导?自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6怎么 数学自然数平方和公式怎么推导? 自然数平方和公式Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6 怎么推导? misu211年前3: baiyunfang000 共回答了15个问题 | 采纳率86.7%

利用(n+1)³-n³=3n²+3n+1即可
1³-0³=3×0²+3×0+1
2³-1³=3×1²+3×1+1
3³-2³=3×2²+3×2+1
4³-3³=3×3²+3×3+1
……
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
∴(n+1)³＝3Sn+3(1+2+……+n)+(n+1)
……
Sn=1*1+2*2+3*3+…+n*n=n(n+1)(2n+1)/6

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1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6用数学归纳法证明简单,但右边的结果怎么推倒出来的哪位高手 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6用数学归纳法证明简单,但右边的结果怎么推倒出来的哪位高手指点下. jy8126521年前1: 浪子_游人共回答了18个问题 | 采纳率100%

由（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1,
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1,
……
（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1,几式相加,得：(n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+…+n^2)+3(1+2+…+n）+n,得出结论.

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1平方＋2平方＋...n平方＝n*(n+1)*(2n+1)/6怎么证明? jenbi1年前1: titanwd 共回答了20个问题 | 采纳率95%

如果使用算术方法可以推导出来：
我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1
(1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ...此处引用：1 + 2 + 3 + .+ n = n(n + 1)/2
整理化简即可得到：
Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+ n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6

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n个自然数:1,2,3…,n,其平方和可用公式n(n+1)(2n+1)/6来计算,试计算11*11+12*12+ jmjxmichael1年前2: 冰-狐共回答了18个问题 | 采纳率77.8%

其实就是1~12的平方和减去1~10的平方和
n1=12,代入公式得到结果1
n2=10,代入公式得到结果2
减一下,就是最终结果了.

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数学1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 数学1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 0分 用归纳法特别是n=k等式成立化简步骤 nickykong1年前1: wuminggang 共回答了25个问题 | 采纳率88%

证明：当n=1时,原式成立
假设当n=k时也成立,即1^2+2^2+3^2+...+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
则当n=k+1时1^2+2^2+3^2+...+k^2+（k+1）^2=k(k+1)(2k+1)/6+（k+1）^2
右边通分[k(k+1)(2k+1)+6（k+1）^2]/6=（k+1）（2k^2+k+6k+6）/6
=（k+1）（2k^2+7k+6）/6
=（k+1）（k+2）（2k+3）/6（分解因式）
=（k+1）[（k+1）+1][（2（k+1）+1]/6
所以当n=k+1时成立,所以原式成立

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求和公式：从1到n的平方和,请问怎么推导?答案是n(n+1)(2n+1)/6 把你宠坏521年前1: ilovemyuncle 共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

归纳法证明（1）验证n=1 成立
（2）假设当n>1时,等式成立
n=n+1时,代入也成立,命题得证

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1平方+2平方+...+n平方,怎么推出n(n+1)(2n+1)/6呢?最好用高中知识. 牛吻症1年前1: 折羽青鸟箐箐共回答了20个问题 | 采纳率70%

首先,你得知道 1+2+3+.+n = n(n+1)/2 ；
其次,有恒等式：(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 （n=1,2,3,.）
因此有 2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1 ,
3^3-2^3 = 3*2^2+3*2+1 ,
4^3-3^3 = 3*3^2+3*3+1 ,
.
(n+1)^3-n^3 = 3*n^2+3*n+1 ,
把以上 n 个等式两边分别相加,得 (n+1)^3 - 1 = 3*(1^2+2^2+.+n^2)+3*(1+2+3+...+n) + n ,
由此解得出 1^2+2^2+3^2+.+n^2 = [(n+1)^3-1-3n(n+1)/2-n] / 3 = n(n+1)(2n+1)/6 .

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数列1*1+2*2+3*3+...n*n求和公式是n(n+1)(2n+1)/6 怎么证明的 数列1*1+2*2+3*3+...n*n求和公式是n(n+1)(2n+1)/6 怎么证明的 老师讲过忘了好像要升次什么的 那怎么得出这个的数学归纳法知道但只能说是取巧啊我问的是怎么推出来的?难道只能猜? yuyu4201年前1: 圆脑袋圆圆共回答了17个问题 | 采纳率88.2%

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

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数列前N项和1+2^2+3^2+…n^2=n(n+1)(2n+1)/6证明的详细过程 xiaocongying1年前0: 共回答了个问题 | 采纳率

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1×1+2×2+3×3+---+n×n=n(n+1)(2n+1)/6

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