找列主元高斯消去法来求解线性代数方程组解的matlab程序

在数学解题中常用到“主元思想”,所谓“主元思想”,即是指在含有两个或两个以上
字母的问题的解决过程中,选择其中一个字母作为研究的主要对象,视为“主元”,而将其
余各字母视作参数或常量,
来指导解题的一种思想方法．
这一思想方法运用的核心是确定
“主元”、选择“主元”,在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”,等价于战斗中选择准了
主攻方向．

列主元消元法: row principal element elimination solution
只能帮到这里了.

矩阵A每行都有主元
此时 r(A) = m
A 的列向量的秩为m
A的列可生成R^m
R^m 中向量可由A的列向量线性表示
Ax=b (属于R^m) 有解
" 若 增广矩阵[A,b]每行都有主元,则有解无解两种情况 "
最后一行的主元若在最后一列,则无解,否则有解

oid matrix::ni()/*逆矩阵的求法*/
{
matrix b;
int i,j;
float sum;
sum=det();
for(i=0;i

主元思想
根据具体条件和解题需要,从不同的角度出发,在众多变元中选用一个变元为主元,并以此为线索把握解决问题的思想.
具体在主元思想因式分解上应用：
在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解.
例如：
x^4+y^4+z^4-2x^2y^2-2y^2z^2-2z^2x^2=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4-2y^2z^2
=x^4-2(y^2+z^2)x+y^4+z^4+2y^2z^2-4y^2z^2
=x^4-2(y^2+z^2)x^2+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2
=[x^2-(y^2+z^2)]^2-(2yz)^2
=[x^2-(y^2+z^2)+2yz][x^2-(y^2+z^2)-2yz]
=[x^2-(y-z)^2][x^2-(y+z)^2]
=[x+(y-z)][x-(y-z)][x+(y+z)][x-(y+z)]
=(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)
也就是先随便将一变量定为唯一变量 而将其他的看成常数 进行运算
而换元思想 是指把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.如
x^2+2(1.41452142.y)x+(1.41452142.y)^2=0
完全可用x^2+2ax+a^2=0来代替 用于简化 算完后再把a用1.41452142.y带回来

采用高斯先列主元消元法求解线性方程组AX=b
方法说明（以4阶为例）：
（1）第1步消元——在增广矩阵（A,b）第一列中找到绝对值最大的元素,将其所在行与第一行交换,再对（A,b）做初等行变换使原方程组转化为如下形式：
,注：“*”代表非0.
（2）第2步消元——在增广矩阵（A,b）中的第二列中（从第二行开始）找到绝对值最大的元素,将其所在行与第二行交换,再对（A,b）做初等行变换使原方程组转化为：
（3）第3步消元——在增广矩阵（A,b）中的第三列中（从第三行开始）找到绝对值最大的元素,将其所在行与第二行交换,再对（A,b）做初等行变换使原方程组转化为：
（4）按x4 ; x3; ; x1 的顺序回代求解出方程组的解

第二个方程减去第四个方程得
x2+3x3-4x4=2
然后再加上第一个方程得
2x3-3x4=2 （1）（消去了x1）
第三个方程减去2倍第四个方程得
2x2+4x3-4x4=1
然后加上2倍第一个方程得
2x3-2x4=1 (2）……（消去了x2）
（2）-（1）
得x4=-1 （消去了x3）
然后反过来将x4带入（2）求出x3,依次再求出x2,x1.
然后层层代回去
编程的话,代码太多,给你剪切复制一个仅作参考
--------
//红色部分为后来修改内容,程序的错误在所难免,你们的反馈是程序完善的动力!
//解线性方程组
//By JJ,2008
#include
#include
#include
#include
//----------------------------------------------全局变量定义区
const int Number=15; //方程最大个数
double a[Number][Number],b[Number],copy_a[Number][Number],copy_b[Number]; //系数行列式
int A_y[Number]; //a[][]中随着横坐标增加列坐标的排列顺序,如a[0][0],a[1][2],a[2][1]...则A_y[]={0,2,1...};
int lenth,copy_lenth; //方程的个数
double a_sum; //计算行列式的值
char * x; //未知量a,b,c的载体
//----------------------------------------------函数声明区
void input(); //输入方程组
void print_menu(); //打印主菜单
int choose (); //输入选择
void cramer(); //Cramer算法解方程组
void gauss_row(); //Gauss列主元解方程组
void guass_all(); //Gauss全主元解方程组
void Doolittle(); //用Doolittle算法解方程组
int Doolittle_check(double a[][Number],double b[Number]); //判断是否行列式>0,若是,调整为顺序主子式全>0
void xiaoqu_u_l(); //将行列式Doolittle分解
void calculate_u_l(); //计算Doolittle结果
double & calculate_A(int n,int m); //计算行列式
double quanpailie_A(); //根据列坐标的排列计算的值,如A_y[]={0,2,1},得sum=a[0][ A_y[0] ] * a[1][ A_y[1] ] * a[2][ A_y[2] ]=a[0][0]*a[1][2]*a[2][1];
void exchange(int m,int i); //交换A_y[m],A_y[i]
void exchange_lie(int j); //交换a[][j]与b[];
void exchange_hang(int m,int n); //分别交换a[][]和b[]中的m与n两行
void gauss_row_xiaoqu(); //Gauss列主元消去法
void gauss_all_xiaoqu(); //Gauss全主元消去法
void gauss_calculate(); //根据Gauss消去法结果计算未知量的值
void exchange_a_lie(int m,int n); //交换a[][]中的m和n列
void exchange_x(int m,int n); //交换x[]中的x[m]和x[n]
void recovery(); //恢复数据
//主函数
void main()
{
int flag=1;
input(); //输入方程
while(flag)
{
print_menu(); //打印主菜单
flag=choose(); //选择解答方式
}
}
//函数定义区
void print_menu()
{
system("cls");
cout

这个题目,该矩阵秩为2,其中一个极大无关组可以为a2、a3.

就是主列消元 比如就是选择一列中绝对值最大的元素 然后用它把下面的数消掉 比如说 1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1
4 1 1 1
你就把第四行与第一行交换 然后 用第一行的4把下面的1,2,3消为零

主对角线上的元素,左上角到右下角.
不是方阵就是左上角到最下一行,将这一行数的左下角那些数化成零,不就是阶梯型了嘛.可以很方便的讨论矩阵的解,和矩阵的其他性质.

代码太长，提交时说重复字符太多，不能发上来，我可以通过QQ给你发

自由变量全赋值为0 不行.
自由变量应该取一组线性无关的向量
如:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
然后由同解方程组得基础解系.
这里是用了:线性无关的向量组添加若干分量后仍线性无关
所以,自由变量取一组线性无关的向量后,添加上约束变量的取值,才能保证所得的解向量线性无关,这是基础解系的要求!

比如说f(x)=ax^2+3a+1>=0在a属于[-1,1]恒成立,求x的取值范围,我们就以a为主元,g(a)=(x^2+3)a+1是线性函数,只需要g(1)>=0且g(-1)>=0即可求出x的范围

360 9 4 1 0 0 ①
200 4 5 0 1 0 ②
300 3 【10】 0 0 1 ③
1 将【10】所在行的数都除10,这样,【10】变成了【1】；③/10
2 再将4所在行的数减去（【1】所在行的数都乘4后数）,这样,4就“划成”了0；①-4*③
3 再将5所在行的数减去（【1】所在行的数都乘5后数）,这样,5就“划成”了0. ②-5*③

一2X1-X2-X3=1 二2X1-X2-X3=1 三 2X1-X2-X3=1
-X1+3X3=1 -0.5X2+2.5X3=1.5 1.5X2-0.5X3=2.5
-X1+2X2=2 1.5X2-0.5X3=2.5 2.3X3=2.3
用回代过程解方程组三得 X1=2 X2=2 X3=1

求矩阵的秩的时候,经初等变换为阶梯矩阵后,每一个非零行的第一个非零元称为这一行的“主元”.“主元”所在列所对应的原向量构成的向量组就是最大无关向量组.

function x=detGauss(a,b)
% Gauss 列主元消去法
[n,m]=size(a);
nb=length(b);
det=1;% 存储行列式值
x=zeros(n,1);
for k=1:n-1
amax=0;% 选主元
for i=k:n
if abs(a(i,k))>amax
amax=abs(a(i,k));r=i;
end
end
if amaxk % 交换两行
for j=k:n
z=a(k,j);a(k,j)=a(r,j);a(r,j)=z;
end
z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;
end
for i=k+1:n % 进行消元
m=a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n
a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);
end
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
det=det*a(k,k);
end
det=det*a(n,n);
for k=n:-1:1 % 回代
for j=k+1:n
b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);
end
x(k)=b(k)/a(k,k);
end

1. 主元所在的列对应的向量构成一个极大无关组
2. 极大无关组不是唯一的,利用主元确定极大无关组比较方便,易掌握
3. 若单纯求极大无关组,只需化梯矩阵
4. 极大无关组中向量的个数等于由向量组构成的矩阵的秩