等比中项与两侧的数有什么关系?

∵a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，
∴
1
2(an+2)＝
2Sn，即Sn＝
1
8(an+2)2．…（2分）
当n=1时，S1＝
1
8(a1+2)2⇒a1＝2； …（3分）
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝
1
8[(an+2)2−(an−1+2)2]，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，…（5分）
又∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=4，
可知{a_n}是公差为4的等差数列．…（7分）
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2． …（8分）

点评：
本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的性质，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．

由lgy为lgx，lgz的等差中项可得，2lgy=lgx+lgz，
化简可得lgy²=lgxz，即y²=xz，故y是x，z的等比中项；
但当y是x，z的等比中项时，不能推出lgy为lgx，lgz的等差中项，
比如取x=z=1，y=-1，当然满足y是x，z的等比中项，
但此时lgy无意义，更谈不上lgy为lgx，lgz的等差中项了，
故“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件，
故选A

点评：
本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评： 本题考查充要条件的判断，涉及等差中项和等比中项以及对数的运算，属基础题．

由题意令公差d，∵2^a₃，2^a₅的等比中项为2⁷，∴2^a₃×2^a₅₌2^7×2，∴a₃+a₅=14，即1+2d+1+4d=14，∴d=2
S_n=
d
2n2+(a1−
d
2)n=n²=100，∴n=10
故选B

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查等差与等比数列的综合，主要考查了等差数列的通项及前n项和公式以及等比数列的性质，正确做出本题的前提是熟练掌握相关的公式．

（I）设公差为d（d＞0），则
∵4S₃=S₆，a₂+2是a₁，a₁₃的等比中项，
∴

4(3a1+3d)＝6a1+15d
(a1+d+2)2＝a1(a1+12d)
∴

a1＝1
d＝2或

a1＝−
1
4
d＝−
1
2
∵d＞0，∴

a1＝1
d＝2
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（II）若存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2，则2m-1+2（m+4）-1=2（k+2）-1，即2k-4m=3
∴k-2m=[3/2]
∵m，k∈N^*，∴k-2m=[3/2]不可能成立
∴不存在m，k∈N^*，使a_m+a_m+4=a_k+2；
（III）由题意可得b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b_n-b_n-1=2n-3
将上面n-1个式子相加可得b_n-b₁=
(n−1)(1+2n−3)
2=（n-1）²
∵b₁=-1，∴bn＝n2−2n．

点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合．

考点点评： 本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

∵a₄是a₃与a₇的等比中项，
∴a₄²=a₃a₇，
即（a₁+3d）²=（a₁+2d）（a₁+6d），
整理得2a₁+3d=0，①
又∵S8＝8a1+
56
2d＝32，
整理得2a₁+7d=8，②
由①②联立，解得d=2，a₁=-3，
∴S10＝10a1+
90
2d＝60，
故选：C．

点评：
本题考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单．

∵△ABC中，sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，
∴2sinB=sinA+sinC，sin²B=sinA•sinC
∴4sin²B=（sinA+sinC）²
∴4sinA•sinC=（sinA+sinC）²
（sinA+sinC）²-4sinA•sinC=0
即（sinA-sinC）²=0，
∴sinA=sinC，
于是2sinB=2sinA=2sinC，
∴sinB=sinA=sinC，
即：a=b=c，
∴B=60°
故选C．

点评：
本题考点： 余弦定理；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查正弦定理与等量代换，求得sinA=sinC是关键，属于中档题．

∵3是3^a与3^b的等比中项，∴3²=3^a•3^b=3^a+b，∴a+b=2．
a＞0，b＞0．
∴[1/a+
1
b]=[1/2](a+b)(
1
a+
1
b)=
1
2(2+
b
a+
a
b)≥
1
2(2+2

b
a•
a
b)=2．当且仅当a=b=1时取等号．
故选B．

点评：
本题考点： 基本不等式．

考点点评： 熟练掌握等比中项、“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．

设两数为a，b，
根据题意得：a+b=12，ab=100，
则以这两个数为根的一元二次方程是x²-12x+100=0．
故选：C

点评：
本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 此题考查了等差、等比数列的性质，以及一元二次方程根的分布与系数的关系，熟练掌握性质是解本题的关键．

设a₄与a₈的等比中项是x．
由等比数列{a_n}的性质可得
a26＝a4a8，∴x=±a₆．
∴a₄与a₈的等比中项x=±a₆=±
1
8×25=±4．
故选：A．

点评：
本题考点： 等比数列．

考点点评： 本题考查了等比中项的求法，属于基础题．

设此数列为2，x，y，30．
于是有

x2=2y
2y=x+30
解得x=6，y=18．
故插入的两个正数为6，18，
设6，18的等比中项为z，则有z²=6×18，
解得z=±6
3
故答案为：±6
3

点评：
本题考点： 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查等比中项和等差中项，涉及方程组的解法，属基础题．

∵a、b的等差中项为4
∴a+b=8
又∵a、b是正数
∴a+b≥2
ab（a=b时等号成立）
∴
ab≤4
又由等比中项的定义知a、b的等比中项为±
ab
∴a、b的等比中项的最大值为4
故选A

点评：
本题考点： 基本不等式；等差数列的性质；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等差中项和等比中项的定义和均值不等式，要注意两个数的等比中项有两个，同时要注意均值不等式的条件．属简单题

∵1是[1/a]与[1/b]的等差中项
∴[1/a]+[1/b]=[a+b/ab]=2，即a+b=2ab，
∵1是a²与b²的等比中项，
∴ab=±1
∴[a+b
a2+b2=
a+b
(a+b)2−2ab=
2ab
4a2b2−2ab=1或-
1/3]
故选D

点评：
本题考点： 等比数列的性质；等差数列的性质．

考点点评： 本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．解题的关键是利用等差中项和等比中项求得a和b的关系．