简单随机抽样与系统抽样的区别与联系

∵从960人中抽取32人，
∴抽取的间距为960÷32=30，
∴号码过程公差d=30的等差数列，
∵在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，
∴抽取号码为9+30（n-1）=30n-21，
由401≤30n-21≤430，
即14[1/15]≤n≤15[1/30]，
∴当n=15时，30×15-21=429，
故选：D．

点评：
本题考点： 系统抽样方法．

考点点评： 本题主要考查系统抽样的定义，利用条件确定系统抽样的组距是解决本题的关键．

方法一：前两次是从去掉a以外的9个个体中依次任意抽取的两个个体有
A29种方法，第三次抽取个体a只有一种方法，第四次从剩下的7个个体中任意抽取一个可有
C17种方法；而从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本，可有
A410种方法．
∴要求的概率P=

A29×1×
C17

A410=[1/10]．
方法二：可以只考虑第三次抽取的情况：个体a第三次被抽到只有一种方法，而第三次从含10个个体的总体中抽取一个个体可有10种方法，因此所求的概率P=[1/10]．
故选A．

点评：
本题考点： 等可能事件的概率；简单随机抽样．

考点点评： 正确计算出：个体a前两次未被抽到而第三次被抽到的方法和从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本的方法是解题的关键．

（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为
70
500＝14%．
（Ⅱ）K2＝
500×(40×270−30×160)2
200×300×70×430≈9.967，
由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

点评：
本题考点： 独立性检验的应用．

考点点评： 本题主要考查统计学知识，考查独立性检验的思想，考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力．

∵有8个个体（n=8），
∴每次抽取的概率为[1/8]，
∴个体a被抽到的概率3×[1/8]=[3/8]．
故填：[3/8]．

点评：
本题考点： 简单随机抽样．

考点点评： 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，具有操作简便易行的特点，一般有抽签法和随机数表法．能否用抽签法抽取样本，简单随机抽样是其它各种抽样的基础．另外，不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．

由题意，从n个个体中抽取一个容量为10的样本，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为[1/3]；
可得[9/n−1]=[1/3]，
解可得n=28．
则每个个体被抽到的概率P=[10/28]=[5/14]；
故选B．

点评：
本题考点： 简单随机抽样；等可能事件的概率．

考点点评： 本题考查等可能事件的概率计算与简单随机抽样，难度不大；注意简单随机的定义即可．

∵一个总体的个数为n，抽取一个容量为2的样本，
∴整个过程中个体a被抽到的概率是[2/n]，
个体a第一次未被抽到第二次被抽到的概率是[n−1/n×
1
n−1]=[1/n]，
故答案为：[1/n]；[2/n]．

点评：
本题考点： 简单随机抽样；等可能事件的概率．

考点点评： 简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．抽签先后对所有抽签的人来说是公平的．

（1）K²=
500×(40×270−30×160)2
200×300×70×430=9.967，
由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
（2）由（1）得结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据中能看出该地区男性老年人比女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好．

点评：
本题考点： 独立性检验的应用．

考点点评： 本题考查独立性检验．利用观测值K2与临界值的大小来确定是否能以一定把握认为两个分类变量有关系．

（I）由题意，男生抽取6×[20/20+10]=4人，女生抽取6×[10/20+10]=2人；
（II）在（I）中抽取的6人中任选2人，恰有一名女生的概率P=

C14
C12

C26=[8/15]；
（III）K²=
50×(20×15−5×10)2
30×20×25×25=8.333，由于8.333＞6.635，所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关．

点评：
本题考点： 独立性检验的应用．

考点点评： 本题考查分层抽样方法和等可能事件的概率，独立性检验的应用，属于中档题．

（Ⅰ）我校高一高二两个年级学生中，支持该项课外活动同学的比例为160：270=16：27；
（Ⅱ）X²=
500(30×270−40×160)2
190×310×70×430≈0.815＜3.041，
∴没有充分的理由说明是否支持该项课外活动与同学所在年级有关；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，可知不需要采用分层抽样的调查方法来估计我校高一高二两个年级学生中支持该项课外活动的比例．

点评：
本题考点： 独立性检验的应用；收集数据的方法．

考点点评： 本题考查统计知识，考查独立性检验的应用，比较基础．

∵采用简单随机抽样的方法抽取，
∴每个个体被抽到的概率都相等
其概率为P=
C92
C103=[3/10]
因此张云被抽中的概率也等于[3/10]
故选：B

点评：
本题考点： 古典概型及其概率计算公式．

考点点评： 本题给出简单随机抽样模型，求某同学被抽到的概率，着重考查了古典概型的概率计算公式的知识，属于基础题．

一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为[1/100]，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为[1/100×5=
1
20]．
故填：[1/20]．

点评：
本题考点： 简单随机抽样．

考点点评： 不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．

方法一：前两次是从去掉a以外的9个个体中依次任意抽取的两个个体有
A29种方法，第三次抽取个体a只有一种方法，第四次从剩下的7个个体中任意抽取一个可有
C17种方法；而从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本，可有
A410种方法．
∴要求的概率P=

A29×1×
C17

A410=[1/10]．
方法二：可以只考虑第三次抽取的情况：个体a第三次被抽到只有一种方法，而第三次从含10个个体的总体中抽取一个个体可有10种方法，因此所求的概率P=[1/10]．
故选A．

点评：
本题考点： 等可能事件的概率；简单随机抽样．

考点点评： 正确计算出：个体a前两次未被抽到而第三次被抽到的方法和从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本的方法是解题的关键．

∵有8个个体（n=8），
∴每次抽取的概率为[1/8]，
∴个体a被抽到的概率3×[1/8]=[3/8]．
故答案为：8，[3/8]．

点评：
本题考点： 简单随机抽样．

考点点评： 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，具有操作简便易行的特点，一般有抽签法和随机数表法．能否用抽签法抽取样本，简单随机抽样是其它各种抽样的基础．另外，不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．

从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，
在整个抽样过程中被抽到的概率是[2/6]=[1/3]，
一个体a第一次被抽到，表示从6个个体中抽一个个体，
被抽到的概率是[1/6]，
第二次被抽到表示第一次未被抽到且第二次抽到，
这是一个相互独立事件的概率，
根据相互独立事件同时发生的概率知P=[5/6×
1
5]=[1/6]，
故答案为：[1/6]；[1/6]；[1/3]

点评：
本题考点： 相互独立事件．

考点点评： 考查运用概率知识解决实际问题的能力，考查抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，考查相互独立事件同时发生的概率，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．

由题意事件“抽取一个容量为2的样本，个体a被抽到”包含了9个基本事件，而总的基本事件数是C₁₀²=45
∴事件“抽取一个容量为2的样本，个体a被抽到”概率是[9/45]=[1/5]
故选B

点评：
本题考点： 等可能事件的概率．

考点点评： 本题考点是等可能事件的概率，考察了基本事件个数求法，组合数公式，解题的关键是理解事件“抽取一个容量为2的样本，个体a被抽到”，此类题选择正确的计数方法对解题很重要．本题是概率的基本题，计算题