已知函数f1(x)＝mx4x2+16，f2(x)＝(12)|x−m|其中m∈R且m≠o．

（I）利用奇函数的定义可知：只有f₁（x），f₃（x），f₄（x）是奇函数，并且只有从这三个函数中任取两个相加的心函数才能是奇函数，共有
C23个，即3个，
而基本事件总数为
C26=15．
∴所得的函数是奇函数的概率P=[3/15＝
1
5]．
（II）从盒子中任取两张卡片，共有
C26个基本事件，其中两个都不是奇函数的包括
C23个基本事件，
由对立事件概率计算公式可得：其中至少一张上为奇函数的概率P=1-

C23

C26=[4/5]．

点评：
本题考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

考点点评： 本题考查了古典概率计算公式、对立事件概率计算公式、组合数计算公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题．

（I）f（x）=f₁（x）•f₂（x）=
1/2]x²alnx，
∴f′（x）=axlnx+[1/2]ax=[1/2]ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞e
1
2，由f′（x）＜0，得0＜x＜e
1
2．
∴函数f（x）在（0，e
1
2）上是增函数，在（e
1
2，+∞）上是减函数，
∴f（x）的极小值为f（e
1
2）=-[a/4e]，无极大值．
（II）根据题意存在x₀∈[1，e]，使得f₁（x₀）+f₂（x₀）≤（a+1）x₀成立，
设g（x）=[1/2]x²+alnx-（a+1）x，则g（x）_min≤0即可，
又g′（x）=x+[a/x]-（a+1）=
(x−1)(x−a)
x，
①当a≤1时，由x∈[1，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，e]上是增函数，
∴g（x）_min=g（1）=[1/2]-（a+1）≤0，得-[1/2]≤a≤1．
②当1＜a＜e时，由x∈[1，a]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，a]上是减函数，
由x∈[a，e]，g′（x）＞0，得g（x）在[1，a]上是增函数，
∴g（x）_min=g（a）=-[1/2]a²+alna-a=-[1/2]a²-a（1-lna）≤0恒成立，得1＜a＜e．
③当a≥e时，由x∈[1，e]，g′（x）＜0，得g（x）在[1，e]上是减函数，
∴g（x）_min=g（e）=）=-[1/2]e²+a-ae-e≤0，得a≥
e2−2e
2(e−1)，又
e2−2e
2(e−1)＜e，∴a≥e．
综上，实数a的取值范围a≥
1
2．
（III）问题等价于x²lnx＞
x2
ex−
3
4，
由（I）知，f

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，先通过导数求出函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用．

当0＜a＜1时，f₂（x）=x^a，在（0，+∞）上为增函数，而且为凹函数，f₁（x）=a^x，f₃（x）=log_ax，在（0，+∞）上为减函数，
分析题目中的四个答案中的图形，均不符合条件；
当a＞1时，f₁（x）=a^x，f₂（x）=x^a，f₃（x）=log_ax，在（0，+∞）上均为增函数，f₂（x）=x^a，为凸函数；
分析题目中的四个答案中的图形，只有B符合条件；
故选B

点评：
本题考点： 对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．

考点点评： 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，幂函数的图象和性质，熟练掌握三个基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键．

解析 （Ⅰ）f（x）=f₁（x）•f₂（x）=
1/2]x²alnx，
∴f′（x）=axlnx+[1/2]ax=[1/2]ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞e−
1
2，由f′（x）＜0，得0＜x＜e−
1
2．
∴函数f（x）在（0，e−
1
2）上是减函数，在（e−
1
2，+∞）上是增函数，
∴f（x）的极小值为f（e−
1
2）=-[a/4e]，无极大值．
（Ⅱ）函数g（x）=[1/2x2−alnx+(a−1)x，
则g′（x）=x-
a
x]+（a-1）=
x2+(a−1)x−a
x=
(x+a)(x−1)
x，
令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=-a（舍去），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
函数g（x）在区间（[1/e]，e）内有两个零点，
只需

g(
1
e)＞0
g(1)＜0
g(e)＞0，即

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值、函数的最及函数恒成立问题，考查转化思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．

函数f（x）=f₁（x）+f₂（x）
=3sin(2x−
π
3)+4sin(2x+
π
3)
=3sin2xcos[π/3]-3cos2xsin[π/3]+4sin2xcos[π/3]+4cos2xsin[π/3]
=7sin2xcos[π/3]+cos2xsin[π/3]
=[7/2]sin2x+

3
2cos2x
=
13sin（2x+θ）．其中tanθ=

3
7．
所以函数的振幅为
13．
故选A．

点评：
本题考点： 两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．

考点点评： 本题考查两角和的正弦函数的应用，三角函数的恒等变形，考查计算能力．

∵函数对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（[2x−1/x+1]）=
2•
2x−1
x+1−1

2x−1
x+1+1=[x−1/x]．
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（[x−1/x]）=
2•
x−1
x−1

x−1
x+1=[x−2/2x−1]，
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（[x−2/2x−1]）=
2•
x−2
2x−1−1

x−2
2x−1+1=[1/1−x]，
f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（[1/1−x]）=
2•
1
1−x−1

1
1−x+1=[x+1/2−x]，
f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（[x+1/2−x]）=
2•
x+1
2−x−1

x+1
2−x+1=x，
f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）=[2x−1/x+1]=f₁（x）．
所以从f₁（x）到f₆（x），每6个一循环．
∵2011=335×6+1，
∴f₂₀₁₁（x）=f1(x)＝
2x−1
x+1，
故答案为：[2x−1/x+1]．

点评：
本题考点： 函数的周期性．

考点点评： 本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是得到从f1（x）到f6（x），每6个一循环．

（1）由题意可得M={x|-x-1＞0}={x|x＜-1}，N={x|x-3＞0}={x|x＞3}，
∴A=N∪M={x|x＜-1，或x＞3}．
由于x≤2，可得2^x∈（0，4]，故函数g（x）=2^x-a（x≤2）的值域为B=（-a，4-a]．
（2）若函数A∩B=B，则B⊆A，∴B=∅，或 B≠∅．
当B=∅时，-a≥4-a，a无解．
当B≠∅，

−a＜4−a
4−a＜−1，或

−a＜4−a
a≥3，求得a＞5，或 a≥3，
综合可得，a≥3．

点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．