最速降线问题.质疑这一点：“最速曲线”的不同位置同 时出发,却在同一时刻抵达终点极限,一个球在终点,另一个球在起点,同时

当然是y',y都要求对x的偏导了
[(1+y'^2)^(1/2)]'
=[(1/2)(1+y'^2)^(-1/2)]*2y'y''
[(2gy)^(-1/2)]'
=[(-1/2)(2gy)^(-3/2)]*2g
F'=[(1/2)(1+y'^2)^(-1/2)]*2y'y''*[(2gy)^(-1/2)]+[(-1/2)(2gy)^(-3/2)]*2g*[(1+y'^2)^(1/2)]
=(2yy'y''-1-y'^2)/{2y√[2gy(1+y'^2)]}

const是常数的意思,它的大小由初始入射角来决定.比如你让光以30度角入射,而入射一侧的介质是真空,那V=c（即30万公里每秒）,const=sin30/c.
就是因为有sinα/V=const这个关系,才能用光学类比来算,正规的方法要用到数学上的“泛函的极值——变分”.
不太明白你是想问“V=√2gy,sinα＝1/√（1＋y'^2）”是如何得来的?还是想问“V=√2gy,sinα＝1/√（1＋y'^2）结合sinα/V=const所得的那个微分方程”如何求解?
sinα/V=const
V=√2gy
sinα=1/（√1+y'²）
后两式代入第一个式子得：1/[（√1+y'²）*√2gy]=const
两边平方得：1/[（1+y'²）*2gy]=const^2
移项整理得：（1+y'²）y=1/(2g*const^2)=c（这里的c表示另一个常数）
所以,三个方程求得:
y[1+(y')²]=c

滑雪中比较快的是高山滑雪和速度滑雪
高山滑雪一般都达30公里/小时的速度
速度滑雪起源于美国.1870年美国的托德（Tommy Todd）穿着滑雪板从加利福尼亚陡峭的拉波泰山坡上疾驰而下,后一些高山滑雪爱好者开始仿效,并传入欧洲.1931年成为比赛项目,当时男子的最好成绩为每小时136.600公里.1992年男子世界纪录达到每小时229.299公里,女子世界纪录也达到每小时219.245公里.速度滑雪必须在专门的雪道上进行,雪道要求笔直、平稳,由出发、加速、计速和减速4个区组成,坡长1740米,起点与终点两者间高度差为565米.加速区长25米.计速区宽50米,长100米,前端有光电感应系统,后端有电子计速系统,测定运动员在计速区内的最高速度.减速区是一个逐渐向上的斜坡,便于运动员减速与停上.滑雪板长不得超过2.50米,宽不得超过20厘米.比赛时运动员位于出发区起跑标志后,单个出发,两手用滑雪杖撑地,以最大限度获得初速度.以每位运动员3次试滑中的最好成绩判定名次,速度快者名次列前.1992年被列为冬奥会表演项目.

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短.”.他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案.
瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone）,次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员.这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线.
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同.因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线（旋轮线）又称等时曲线.
看一个稍微有点振奋人心的东东,Johann Bernoulli 对最速降线问题的beautiful解答:
如果使分成的层数n无限地增加,即每层的厚度无限地变薄,则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况,此时折线也就无限增多,其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线,因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅直线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线,它是一个圆沿着一条直线滚动(无滑动)时,圆周上任意一点的轨
因此,最速降线就是摆线,只不过在最速降线问题中,这条摆线是上、下颠倒过来的罢了．
以上便是Johann Bernoulli当时所给最速降线问题的解答．当然,这个解答在理论上并不算十分严谨的．但是,这个解答所蕴含的基本观点的发展,导致了一门新的学科——变分学．最速降线问题的最终而完备的解答,需要用到变分学的知识．

建议去看《经典力学》,里面有用泛函分析处理极值问题的统一方法

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短.”.他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案.
瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone）,次年已有多位数学家得到正确答案,其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员.这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线.
旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同.因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线（旋轮线）又称等时曲线.
看一个稍微有点振奋人心的东东,Johann Bernoulli 对最速降线问题的beautiful解答:
如果使分成的层数n无限地增加,即每层的厚度无限地变薄,则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况,此时折线也就无限增多,其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线,因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅直线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线,它是一个圆沿着一条直线滚动(无滑动)时,圆周上任意一点的轨
因此,最速降线就是摆线,只不过在最速降线问题中,这条摆线是上、下颠倒过来的罢了．
以上便是Johann Bernoulli当时所给最速降线问题的解答．当然,这个解答在理论上并不算十分严谨的．但是,这个解答所蕴含的基本观点的发展,导致了一门新的学科——变分学．最速降线问题的最终而完备的解答,需要用到变分学的知识．

解题思路：（1）根据牛顿第二定律求出滑雪者在斜坡上从静止开始加速至速度v₁=4m/s期间的加速度，再根据牛顿第二定律求出速度大于4m/s时的加速度，根据运动学公式求出速度为4m/s之前的位移，从而得出加速度变化后的位移，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出滑雪者到达B处的速度．
（2）匀速下落时，物体受重力和阻力平衡，根据平衡可求出滑雪者得收尾速度．

（1）由牛顿第二定律得：
a1＝
mgsinθ−μ1mgcosθ
m＝gsin37°−μ1gcos37°＝10×0.6−0.25×10×0.8m/s2＝4m/s2
由v²=2ax得：
速度为4m/s之前的位移为：x1＝
v2
2a1＝
42
2×4m＝2m
滑雪者的速度超过v₀=4m/s后前进得位移为：
x₂=L-x₁=20-2m=18m
滑雪者的速度超过v₀=4m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数为：μ₂=0.125
由牛顿第二定律得：
a2＝
mgsinθ−μ2mgcosθ
m=gsin37°−μ2gcos37°＝10×0.6−0.125×10×0.8m/s2＝5m/s2
由v2−v02＝2ax得：
滑雪者到达B处的速度大小为：
vB＝
2a2x2+v2＝
2×5×18+42m/s＝14m/s
（2）匀速下落时，物体受力平衡，根据平衡可得：
mg=kv²
解得：v＝

mg
k＝

100×10
2.5m/s＝20m/s
答：（1）滑雪者到达B处的速度大小v_B=14m/s
（2）收尾速度为20m/s．

点评：
本题考点： 牛顿第二定律；匀变速直线运动的位移与时间的关系．

考点点评： 本题综合运用了牛顿第二定律、匀变速直线运动公式等规律，关键理清滑雪者的运动过程，正确地受力分析，运用牛顿定律和平衡解题．

解题思路：滑轮、人和吊篮具有相同的加速度，分别以滑轮与人为研究对象，由牛顿第二定律列方程，然后求出加速度．

以沿钢索向下为x轴正方向，
垂直钢索向下为y轴正方向建立直角坐标系，
受力如图所示，由牛顿第二定律得：
对滑轮：Mgcosθ+N₂cos（θ-α）-N₁=0 ①
Mgsinθ+N₂sin（θ-α）-μN₁=Ma ②
对人：mgcosθ-N₂cos（θ-α）=0 ③
mgsinθ-N₂sin（θ-α）-kmg=ma ④
由①②③④解得：a=g（sinθ-μcosθ-[km/M+m]），
α=θ-arctan（μ-
kM
(M+m)cosθ），
当：μ＝
kM
(m+M)cosθ，且μ≠0，k≠0时，α=θ、a＜g sinθ．
答：在稳定的运动状态下，当：μ＝
kM
(m+M)cosθ，且μ≠0，k≠0时，α=θ、a＜gsinθ．

点评：
本题考点： 牛顿第二定律．

考点点评： 解决本题的关键知道滑轮、人和吊篮具有相同的加速度，对滑轮与人正确受力分析，应用牛顿第二定律即可正确解题．

当一个圆沿着一条直线滚动时,圆边上一点的轨迹叫做旋轮线或摆线.摆线具有严格的等时摆.摆线另一有趣的性质是：质点在重力场中沿着摆线从高处某一点滑到低处的另一点所用的时间,比沿着任何曲线（包括直线）在同样两点间滑下的时间都短.所以摆线也称为最速降线.
最简单的,你用你的自行车骑行的时候,车轮上粘上一张糖纸,糖纸的运动轨迹就是最速降线的轨迹．

解题思路：消防员利用绳索从高楼速降救援时，消防员受重力、绳索的拉力、墙面支持力、墙面的摩擦力的作用，用力的示意图表示出重力和摩擦力的大小、方向、作用点．

消防员利用绳索从高楼速降救援时，消防员除了受到绳索的拉力和墙面支持力的作用以外，还受到重力和墙面的摩擦力作用；
消防员利用绳索从高楼速降救援时，运动方向向下，摩擦力与消防员的运动方向相反，竖直向上；
重力的方向竖直向下，因重力和拉力、支持力、摩擦力的合力是平衡力，故重力比拉力、支持力、摩擦力都要大，表示力大小的线段要长，如图所示：

点评：
本题考点： 力的示意图．

考点点评： 本题的关键是确定摩擦力的方向、重力的方向和大小，通过该题牢记同一物体受多力时要用线段的长度表出力的大小．