子列是收敛的,那么原数列是收敛的吗?

用定义证明即可.

这个也未必吧.
从无限项里面取出有限项,难道不行么?
不过也许也要看场合的,也有可能上下文中隐含了子列无穷的意思.
所以,归根到底：你为什么要问这个问题呢?
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我就猜到是因为这个问的……
这个定义里面的子列当然要取无限的,否则哪来nk→∞一说呢?
这里取无限子列跟“子列能不能为有限”这个问题一点关系也没有.

这个也未必吧.从无限项里面取出有限项,难道不行么?不过也许也要看场合的,也有可能上下文中隐含了子列无穷的意思.所以,归根到底：你为什么要问这个问题呢?------------------------------我就猜到是因为这个问的……...

证明：任取一收敛子列（一定存在）设其极限为a,则在a的一充分小领域外,一定有这一有界数列的无限项（仍然有界）,从而有收敛子列其极限一定不等于a

结论不对.必须改成正项级数才对.
对正项级数而言,级数（Ani）的部分和

先要明白子列的意思,子列就是总数列中依次顺序的截取一段数咧,子列是相对总数列.从上例可以看出 你顺序的截取的数之和最大就是你所截取的数和为10.

在完成证明之前先引入一个结论：任一数列中都能取出一个单调子列.
证：引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项,则称这一项是一个“龙头”.下面分2种情况：
情况1 如果在数列中存在无穷多个“龙头”,那么把这些作为“龙头”的项依次取出来,得到一个严格递减的数列；
情况2 这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”,取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项）,记作a(i(1)),由于a(i(1))不是“龙头”,在它后面必有一项a(i(2)),满足 a(i(1))i(1) ；又因为a(i(2))也不是“龙头”,在它后面也必可找到一项a(i(3)),满足 a(i(2))i(2) ；依次进行下去,得到的子列a(i(n)),它显然是一个递增的子列.
所以 任一数列中都能取出一个单调子列.
下面证明 数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
证明：当数列a(n)有界,对a(n)中的任一子序列a(i(n)),利用上述结论,能从a(i(n))中取出一个单调的子序列 a(i(n(k)))；又因为a(n)有界,那么a(i(n(k)))也有界,单调有界数列必有极限,所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.
当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时,这里用用反证法来证明a(n)有界.假设a(n)无界,即对任给的A>0,存在自然数 n ,使得|a(n)|>A ；
现取A=1,存在n(1),使得|a(n(1))|>1 ；
取A=2,存在n(2),使得|a(n(2))|>2 ；
.
取A=k,存在n(k),使得|a(n(k))|>k ；
.
这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ,满足 |a(n(k))|>k ,根据题目条件,a(n)中的任一子序列有收敛子列,那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列,然而从 |a(n(k))|>k 这一点上,可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列,矛盾.所以 a(n) 有界.充分性得证.
综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
如有不理解的地方可再细问,希望对你有帮助~

我来给出一个解答

在完成证明之前先引入一个结论：任一数列中都能取出一个单调子列.
证：引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项,则称这一项是一个“龙头”.下面分2种情况：
情况1 如果在数列中存在无穷多个“龙头”,那么把这些作为“龙头”的项依次取出来,得到一个严格递减的数列；
情况2 这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”,取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项）,记作a(i(1)),由于a(i(1))不是“龙头”,在它后面必有一项a(i(2)),满足 a(i(1))i(1) ；又因为a(i(2))也不是“龙头”,在它后面也必可找到一项a(i(3)),满足 a(i(2))i(2) ；依次进行下去,得到的子列a(i(n)),它显然是一个递增的子列.
所以 任一数列中都能取出一个单调子列.
下面证明 数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
证明：当数列a(n)有界,对a(n)中的任一子序列a(i(n)),利用上述结论,能从a(i(n))中取出一个单调的子序列 a(i(n(k)))；又因为a(n)有界,那么a(i(n(k)))也有界,单调有界数列必有极限,所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.
当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时,这里用用反证法来证明a(n)有界.假设a(n)无界,即对任给的A>0,存在自然数 n ,使得|a(n)|>A ；
现取A=1,存在n(1),使得|a(n(1))|>1 ；
取A=2,存在n(2),使得|a(n(2))|>2 ；
.
取A=k,存在n(k),使得|a(n(k))|>k ；
.
这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ,满足 |a(n(k))|>k ,根据题目条件,a(n)中的任一子序列有收敛子列,那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列,然而从 |a(n(k))|>k 这一点上,可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列,矛盾.所以 a(n) 有界.充分性得证.
综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列.
如有不理解的地方可再细问,

不是

1.c
2.c这两道题我见过,正确率我可以保证100%

是必要条件,即如果数列收敛,那么必定有界

用定义吧.
对任意ε>0,存在对应的K1,使任意k>K1时,│a(2k)-A│K2时,│a(2k+1)-A│

应该是任何收敛数列都有收敛的子烈吧,而且所有子烈的极限相等.y=(-1)^n奇数列和偶数列分别收敛与-1和1,但二者不等,整个数列就不收敛.

数学分析上有证明.两者等价,都是实数系基本定理.
不用柯西原理和其他定理,直接证法如下.
定理 非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界.
证明：任意实数x可以表示为x=[x]+(x),整数部分+非负小数部分.我们将(x)表示成无限小数形式：
(x)=0.a1 a2 a3 ... an ...,
其中a1,a2,...,an,...中的每一个数字都是0,1,...,9中的一个,若(x)是有限小数,则在后面接上无限个0.这称为实数的十进制无效小数表示.注意0.123000...=0.122999... 为了保持表示的唯一性,约定类似情况统一表示成前者.这样,任意实数集合S就可以由一个确定的无限小数的集合来表示:
{a0+0.a1 a2 ... an ... | a0=[x], 0.a1 a2 ... an ... = (x), x属于S}.
设数集S有上界,则可令S中元素的整数部分的最大者为b0,b0一定存在,否则S就无上界,并记
S0={x|x属于S 且 [x]=b0}.
显然由b0的定义,S0不是空集,并对任意x属于SS0,有xS1>...>Sn>...,和一列数b0,b1,...,bn,...,满足
b0是整数,bk是0,1,...,9中的一个.
令c=b0+0.b1 b2 ... bn ...,下面证明c就是S的上确界.
首先,若x属于S,则或存在非负整数m,使得x不属于Sm,或对任何非负整数n有,x属于Sn.
若x不属于Sm,有
x < b0+0. b1 b2 ... bm 0,当m充分大,便有 1/10^m < e.
取y属于Sm,则c与y的整数部分及前m位小数是相同的,所以
c-y c-e,这就说明了任何小于c的数都不是S的上界.
故c就是S的上确界.
同理可证下确界存在性.
用柯西原理的话,先证明闭区间套定理,再证明确界存在定理.

数列：1,0,1,0,1,0,1,.1+(-1)^n,.
两个子数列：
0,0,0,0,0,0,.
1,1,1,1,1,.

这个很好理解啊 举个直观的例子：数列1.2.3.5.7.3位于第3项 ,7位于第5项； 而子数列 3,7.中3位于第一项,7位于第二项 .注意nk大于K!忘回帖 加好友啊 我12考 啊

不懂你的意思?
任意数列﹛xn﹜的上极限是﹛xn﹜的极限点的全体组成的集合E的上确界.
而任意数列的任意子列不一定收敛,即使收敛,它的极限也只是属于E,怎么能等于E的上确界.

a为实数,数列{an}的每一个子列都有一个极限为a的子列
求证：数列{an}的极限为a
反证法：
数列{an}的每一个子列都有一个极限为a的子列
所以a是数列{an}的一个聚点
数列{an}的极限不是a
设b不＝a
b是数列{an}的一个聚点
则{an}存在一个趋向b的子列{xn}
对于任意的e,存在N,当n>N时,
|xn-b|

1.
设|bn|0,存在N,当n>N时,|an|N时,|anbn|