x3+y3+z3+(x+y)3+(y+z)3+(z+x)3因式分解

在复数域上吗?（虽然结果一样）…数形结合?这题办法不少…你指定的办法我不会…

解题思路：本题需先根据三数完全平方公式进行展开各式，然后消去同类项，再进行移项，最后证出等于零即可求出结果

证明：∵（x+y+z）³xyz-（yz+zx+xy）³=xyz（x³+y³+z³）-（y³z³+z³x³+x³y³）
∴xyz[（x+y+z）³-（x³+y³+z³）]=（yz+zx+xy）³）-（y³z³+z³x³+x³y³）
∴xyz[（x³+y³+z³+3x²y+3xy²+3xz²

+3y2z+3yz²+6xyz）-（x³+y³+z³）]，
=（y³z³+z³x³+x³y³+3y²z³x+3z³x²y+3y²zx²+3z²x³y+3zx³y²+6y²z²x²）-（y³z³+z³x³+x³y³），
∴xyz（3x²y+3xy²+3xz²

+3y2z+3yz²+6xyz）=3y²z³x+3z³x²y+3y²zx²+3z²x³y+3zx³y²+6y²z²x²
∴（3x³y²z+3x²y³z+3x²z³y+3y³z²x+3y²z³x+6x²y²z²=3y²z³x+3z³x²y+3y²zx²+3z²x³y+3zx³y²+6y²z²x²
∴（3x³y²z+3x²y³z+3x²z³y+3y³z²x+3y²z³x+6x²y²z²-3y²z³x-3z³x²y-3y²zx²-3z²x³y--6y²z²x²=0
∴（x+y+z）³xyz-（yz+zx+xy）³=xyz（x³+y³+z³）-（y³z³+z³x³+x³y³）．

点评：
本题考点： 整式的等式证明．

考点点评： 本题主要考查了整式的等式证明，在解题时要注意三数完全立方公式的应用，这是解题的关键．

解题思路：首先根据（1）（2）式子之间的关系，可以求出xyz=0，然后令x为0，解得y、z的值．

由（1）（2）联立得xy+yz+xz=20（4）
而x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx）
∴189-3xyz=9（41-20）
∴xyz=0
∴x=0或y=0或z=0．把x=0分别代入式（1）（4）得

y＝4
z＝5，

y＝5
z＝4
又由于原方程组是关于x、y、z的对称方程组，故原方程组有6组解．

点评：
本题考点： 高次方程．

考点点评： 本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是把高次方程转变成低次方程进行求解，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心．

到这儿：http://bbs.eduu.com/frame.php?frameon=yes&referer=http%3A//bbs.eduu.com/forumdisplay.php%3Ffid%3D230%26page%3D 或 www.***.com

（x+y+z）²-（x²+y²+z²）=2（xy+yz+zx）=-1,xy+yz+zx=-1/2
x3+y3+z3=3xyz+(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=3xyz+1*（2-（-1/2））=3,xyz=1/6
（x2+y2+z2）²=x4+y4+z4-2x²y²-2y²z²-2x²z²=4,故x4+y4+z4=4+2（x²y²+y²z²+x²z²）
x²y²+y²z²+x²z²=（xy+yz+zx）²-2xyz（x+y+z）=（-1/2）²-2*1/6*1=-1/12
x4+y4+z4=4+2*（-1/12）=23/6
不清的话就追问.晚上好!

x^3+y^3+z^3-3xyz
==[( x+y)^3-3x^2y-3xy^2]+z^3-3xyz
=[(x+y)^3+z^3]-(3x^2y+3xy^2+3xyz)
=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+2xy-xz-yz+z^2)-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
用到二个公式：
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2
x^3+y^3+z^3+3xyz
似乎不好分解?

解题思路：（1）由条件可得 （x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=1，求得xy+yz+xz=-[1/2]．再根据 x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），求得xyz的值．
（2）把x²+y²+z²=2平方可得 x⁴+y⁴+z⁴ =4-2（x²•y²+y²•z²+x²•z² ）．再根据x²•y²+y²•z²+x²•z²=（xy+yz+xz）²-2xyz（x+y+z），求得 x⁴+y⁴+z⁴ 的值．

（1）由条件可得 （x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=1，
即 1=2+2（xy+yz+xz），∴xy+yz+xz=-[1/2]．
再根据 x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
即3-3xyz=2+[1/2]，∴xyz=[1/6]．
（2）由题意可得 （x²+y²+z²）²=x⁴+y⁴+z⁴+2x²•y²+2y²•z²+2x²•z²=4，
∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2（x²•y²+y²•z²+x²•z² ）．
由于（x²•y²+y²•z²+x²•z² ）=（xy+yz+xz）²-2xyz（x+y+z）=(−
1
2)2-2×[1/6]×1=-[1/12]，
∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2×（-[1/12]）=[25/6]．

点评：
本题考点： 二维形式的柯西不等式．

考点点评： 本题主要考查立方公式、完全平方公式的应用，转化变形是本题的难点，解答本题的关键是求出xy+yz+xz和xyz的值，属于中档题．

用特值法
x=4,y=-3,z=2
xyz=-24,x4+y4+z4=-353

解题思路：设x²+y²+z²=t，则xy+yz+xz=[9−t/2]，利用x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），可得xyz=[11−3t/2]，即可得出结论．

设x²+y²+z²=t，则
∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz），
即9=t+2（xy+yz+xz），
∴xy+yz+xz=[9−t/2]，
∵x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
∴3-3xyz=3（t-[9−t/2]），
∴xyz=[11−3t/2]，
∵x，y，z∈Z，t＞0，
∴t=1，3，
∴x²+y²+z²所有可能的值组成的集合为{1，3}．

点评：
本题考点： 二维形式的柯西不等式．

考点点评： 本题主要考查立方公式的知识点，解答本题的关键是求出xyz=[11−3t/2]．

x+y+z=0,z=-（x+y）
代入x^3+y^3+z^3=0
x^3+y^3-(x+y)^3
=x^3+y^3-x^3-3X^2y-3xy^2-y^3
=-3xy(x+y)
=3xyz=0
所以xyz=0
3a²+ab-2b²=(3a-2b)(a+b)=0
得3a=2b或a=-b
所以a/b-b/a-(a^2+b^2)/ab=a/b-b/a-a/b-b/a=-2b/a
当3a=2b时,-2b/a=-3；
当a=-b时,-2b/a=2
即b分之a-a分之b-ab分之a²+b²=-3或2
a²-3a+1=0
2a5-5a4+2a3-8a²+3a=(a²-3a+1)(2a^3+a^2+3a)=0

因为 x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y)^3-3x^y-3xy^2+z^3-3xyz （把 x^3+y^3 写成 (x+y)^3-3x^2y-3xy^2）
=[(x+y)^3+z^3]-(3x^2y+3xy^2+3xyz) （分组）
=(x+y+z)[(x+y)^2-z(x+y)+z^2]-3xy(x+y+z) （立方和公式,提取公因式）
=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-zy+z^2-3xy) （提取公因式）
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) （整理）
=1/2*(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] （配方）
>=0 ,
所以 x^3+y^3+z^3>=3xyz .

解题思路：根据（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）和题干条件求出xy+yz+xz的值，然后根据x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx）求出xyz的值，即可求出答案．

∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz），
即1=7+2（xy+yz+xz），
∴xy+yz+xz=-[1/2]，
x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），
即3-3xyz=2+[1/2]，
∴xyz=[1/6]，
[1/x+
1
y+
1
z]=[xy+yz+xz/xyz]=-3，
故答案为-3．

点评：
本题考点： 立方公式．

考点点评： 本题主要考查立方公式的知识点，解答本题的关键是求出xy+yz+xz和xyz的值，本题难度不是很大．

1.先不看题目.
我们看这个式子：
x^3+y^3+z^3-3xyz
=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3-3xy(x+y+z)
=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+2xy+z^2-xz-yz)-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
所以当x+y+z=0时,因式分解结果为0,那么显然x^3+y^3+z^3=3xyz
2.ab+bc+ac=-1/2
所以a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2ab^2c+2abc^2+2a^2bc=1/4
a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=1/4-2abc(a+b+c)
=1/4
3.a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)=1
a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)
=1

证明：∵（x-y)^2(x+y)≥0
∴(x-y)(x^2-y^2)≥0
∴x^3+y^3≥x^2y+xy^2
同理
x^3+z^3≥x^2z+xz^2
z^3+y^3≥z^2y+zy^2
xyz不都相等,所以上面三式不能同时取等号
∴x^3+y^3+x^3+z^3+z^3+y^3>x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+z^2y+zy^2
∴2(x^3+y^3+z^3)>x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)