在○O中,弦AB=2,CD=1,AD⊥BD,AD与BC的延长线相交于E点.1.求∠E的度数.2.如果C,D在○O上运动

圆O的半径为2,弦AB=2,
则AB=OA=OB
所以三角形OAB是等边三角形
所以∠OAB=60°
圆O的半径为2,弦AC=2根号2,
则AC²=OA²+OC²
所以三角形OAC是等腰直角三角形
所以∠OAC=45°
故∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°+45°=105°

（1）连结OD，OC，
∵AD⊥BD，
∴弦AB是⊙O的直径，
∴OD=OC= =1=CD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DBC=30°，
∵AD⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴ 在Rt△BD E中，∠E=90°-∠DBC=90°-30°=60°；
（2）① 如图Ⅰ，连结OD，OC，由（1）知：
∴∠DOC=60°，
∵∠CDB= ∠BOC，∠DCB= ∠DOB，
而∠DBE=∠CDB+∠DCB，
∴∠DBE= ∠BOC+ ∠DOB= ∠DOC=30°，
∵AD⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴在Rt△BDE中，
∠E=90°-∠DBC=90°-30°=60°，
② 如图Ⅱ，连结OD，OC，
由（1）知：∠DOC=60°，
∴∠DBC=30°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴ 在Rt△BD E中，∠BED=90°-∠DBC=90°-30°=60°，
③ 如图Ⅲ，当点C与点B重合时，直线BE与⊙O只有一个公共点，
∴ EB为⊙O的切线，
∴∠ABE=90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
又∵点C与点B重合，
∴DB=CD=1，
在Rt△ABD中，
∵ ，
∴∠A=30°，
∴在Rt△BD E中，∠E=90°-∠A=90°-30°=60°，
综上所述：如果C、D点在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么直线AD、BC相交所成锐角的大小不会改变。

∵圆O的半径为2,弦AB=2
∴△ABO为等边△,边长为2
∵点C是弧AB的中点
∴弧AC弧CB
∵弧AC所对应圆心角为∠AOC
弧BC所对应圆心角为∠BOC
∴∠AOC＝∠BOC
∴∠AOC＝30
∴OD＝OA cos30=2×√3/2=√3
∴CD=OC-OD=2-√3
∴AD=AB/2=2/2=1
∴CD:AD=(2-√3):1

解题思路：先求出∠BAO、∠CAO的度数，再根据两弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．

∵cos∠BAO=

1
2AB
R=

2
2，
∴∠BAO=45°，
∵cos∠CAO=

1
2AC
R=

3
2，
∴∠CAO=30°，
①当两弦在圆心的同侧时，
∠BAC=∠BAO-∠CAO=45°-30°=15°；
②当两弦在圆心的异侧时，
∠BAC=∠BAO+∠CAO=45°+30°=75°，
所以∠BAC的度数为75°或15°．
故选C．

点评：
本题考点： 垂径定理；特殊角的三角函数值．

考点点评： 本题注意要分两种情况讨论．