用尺规作图法画正五边形的原理是什么?

90 60 30那块三角板上有30度角

三角形重心是三角形三边中线的交点.

[正五边形的画法]
(1)已知边长作正五边形的近似画法如下:
①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.
②以K为圆心,取AB的2/3长度为半径向外侧取C点,使CK=2/3AB
③以 C为圆心,已知边长 AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.
④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.
http://218.24.233.167:8000/RESOURCE/XX/XXSX/SXBL/BL000023/5542_SR.HTM有图解说明
(2) 圆内接正五边形的画法如下:
①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP.
② 平分半径ON,得OK=KN.
③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H,AH即为正五边形的边长.
④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.
3.民间口诀画正五边形
口诀介绍:"九五顶五九,八五两边分."
作法:
画法:
1.画线段AB=20mm,
2.作线段AB的垂直平分线,垂足为G.
3.在l上连续截取GH,HD,使 GH=5.9/5*10mm=19mm,
HD=5.9/5*10mm=11.8mm
4.过H作EC⊥CG,在EC上截取HC=HE=8/5*10mm=16mm,
5.连结DE,EA,EC,BC,CD,
五边形ABCDE就是边长为20mm的近似正五边形.
用尺规作图法怎样把一个圆周分这五等份?
1.作互相垂直的直径AB、CD.
2.作OA的垂直平分线,垂足为E,(E为OA的中点)
3.以E为圆心,DE为半径作弧交OB于F ,则DF为正五边形的边长.
4.从D开始,用DF的长,依次在圆周上截取四次即可.
参考资料：http://218.24.233.167:8000/RESOURCE/XX/XXSX/SXBL/BL000023/5542_SR.HTM

我知道一个比较笨的方法,不过也行得通.
首先任意画一个边长比为1：2的矩形（用尺规应该办得到）,再连接它的对角线,然后做三角形的高线（应该会吧）交底边于一点,然后过这个点做角,等于
刚才坐的那个图形的对角线与一边的夹角,这样做出一条射线,交三角形的
另一边.然后就好办了,过该点做条线与底边平行,交另一条边与另一点,再过
这两个点做垂线交与底边.就OK了.
说得不太明白,有哪不懂的,给我发消息.
本人语文不好 语言组织不大好 请原谅.o(∩_∩)o...

在弧AB上取一点C
分别连接AC、BC
分别做他们的垂直平分线
两条垂直平分线的交点就是圆心
延长半径使之延长的部分等于半径
做这条由半径和延长部分组成的线段的垂直平分线,这条垂直平分线就是圆的切线

钝角三角形ABC中,角C为钝角,反向延长BC,以A为圆心,以任意长为半径作弧交BC反向延长线和BC于Q,P分别以Q,P为圆心,比AB长的线段为半径作弧交于M,连接AM并延长交BC延长线于O,AO就是高.

看一个正N边形能否用尺规作图的问题,用高斯判别法,即把N因数分解,如果每一个因数都是不同的费尔马数或者是2的话,就可以用尺规作图法作出.所谓费尔马数就是型如2^2^n +1(n为扩大自然数,即包括“0”的自然数）,“2^2^n”是“2的2的n次幂”而不是“2的2次幂的n次幂”即≠4^n .n=0,1,2,3,4,5……时,费尔马数为3,5,17,513,4594967297,…….
简单的说,如果一个数是3,5,17,513,……或3*5,3*17,5*17,3*5*17等这些数或这些数的2倍或是2的整数次幂的倍数的话,就可以用尺规作图法作出,其它不能,包括正边形19边形也不能.

解题思路：根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．

根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定．

考点点评： 本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．

首先连结三个点,形成三角形,取任意一边,用圆规作这一边的中垂线（中垂线做法：圆规支点在线段一个端点上,做半径大于线段二分之一的圆,再取另一个端点作半径相同的圆,两圆有两个交点,连接并延长就是这一线段的中垂线）然后再取三角形另一边,同样作中垂线,两条中垂线的交点便是你想作的圆的圆心!（PS：不是三个任意点确定一个圆,要是三个不在同一直线上的圆）
有不懂可以继续提问!

古希腊三个著名问题之一的三等分角,现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员,每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且,在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个,因为二等分角是那么容易,这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢?
用欧几里得工具,将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时,提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的,在那里,要三等分一个60°角．
在研究三等分角问题时,看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线,它交CA于E,交DA之延长线于F,且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点,则
EG=GF=GA=BA,
从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC,
并且BEF三等分∠ABC．因此,这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间,作一给定长度2(BA)的线段EF,使得EF斜向B点．
如果与欧几里得的假定相反,允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA),然后调整直尺的位置,使得它过B点,并且,E’在AC上,F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用,也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用,参看问题研究4．6．
为了解三等分角归结成的斜向问题,有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线,而O为c外任何一点,P为c上任何一点,在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是,当P沿着c移动时,Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上,只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①,用这样一个工具,就可以很容易地三等分角．这样,令∠AOB为任何给定的锐角,作直线MN垂直于OA,截OA于D,截OB于L(如图32所示)．然后,对极点O和常数2(OL),作MN的蚌线．在L点作OA的平行线,交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
借助于二次曲线可以三等分一个一般的角,早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus,约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．
有一些超越(非代数的)曲线,它们不仅能够对一个给定的角三等分,而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias,约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用,见问题研究4．10．
多年来,为了解三等分角问题,已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧,不知道是谁发明的,但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧,先从被点S和T三等分的线段RU开始,以SU为直径作一半圆,再作SV垂直于RU,如图33所示．用战斧三等分∠ABC时,将这一工具放在该角上,使R落在BA上,SV通过B点,半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB,△TSB,△TDB都全等,所以,BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧,然后调整到给定的角上．在这种条件下,我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧,则可以五等分一个角)．
欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角,但是用这些工具的作图方法,能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34),设C为弦AB的靠近B点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心,以BD为半径,作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点,再以B为圆心,以BF为半径,作弧交圆于G．那么,OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是,对于60°的角大约只差1〃,对于90°角大约只差18〃．

设：正17边形在单位圆上的顶点的复数表示为,
Zk=cos(2kж/17)+isin(2kж/17) (k=0,1,2…16)
若记：ρ=cos(2kж/17)+isin(2ж/17),则除了1以外的其余16个项为：
ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 ρ5 ρ6 ρ7 ρ8；ρ-1 ρ-2 ρ-3 ρ-4 ρ-5 ρ-6 ρ-7 ρ-8
若设 P=ρ+ρ2+.+ρ-8
Q=ρ3+ρ5+…+ρ-7
则：P+Q=ρ+ρ2+.+ρ8+ρ-1+ρ-2+.+ρ-8
=（1+ρ+ρ2+.+ρ8+ρ-1+.+ρ-8）-1
=-1
P*Q=（ρ+ρ2+ρ4+ρ8+ρ1+ρ-2+ρ-4+ρ-8）*（ρ3+ρ5+ρ6+ρ7+ρ-3+ρ-5+ρ-6+ρ-7）
=4（P+Q）
=-4
所以：P,Q是方程 X*X+X-4=0的根
P=1/2（-1+gen2（17））
Q=1/2（-1-gen2（17））
显然P,Q可以用尺规作出.
可见cos（2ж/17）可以用尺规作出.
作图的5个步骤：
1） 作出线段P,Q
2） 作出线段 u1,u2
3） 作出线段 V1
4） 作出单位圆,并在实轴上去一点v,使Ov=1/2V1,
过v作虚轴的平行线交单位圆与Z1,则Z0Z1（Z0=1）,即为正17边形的一边.
5） 作出其余所有顶点,完成正17边形.

垂直平分线

就是做角的平分线,具体做法：
首先把角的顶点作为圆心,适当长为半径 画圆 交两条角的边于A,B
再以A,B为圆心 以同样的半径画圆 交于点D 连结角的顶点和D
就是角的平分线

先画出一个圆,再在圆上任取一点,以已知圆的半径为半径作圆,会得到两个交点,连接两交点,再以两点中任意一点为圆心,两点距离为半径作圆,即可求得三角形的第三个顶点了,剩下的就只需连接三点,正三角形搞定!

根据分析作图得：
已知：线段AB．
求作：等边三角形，边长为AB．
结论：如图，三角形ABC为等边三角形，边长为AB．

以这条线段画一个等边三角形,以两腰的中点分别向底边做垂线,与底边的两个交点就是这个线段的三等分点

作3次垂直平分线,第一次把线段分成2段,第二,三次分别作2段的平分线.

已知：线段AB.
求作：线段AB的三等分点P、Q.
作法：作射线AC（点A、点B、点C不共线）,
以点A为圆心,适当长为半径,画弧,交射线AC于点D,
以点D为圆心,半径不变,画弧,交射线DC于点E,
以点E为圆心,半径不变,画弧,交射线EC于点F,
连结BF,
过点E作BF的平行线,交线段AB于点Q,
过点D作BF的平行线,交线段AB于点P,
∴点P和点Q即为线段AB的三等分点.
原理：平行线等分线段定理（用相似三角形即可证明）
下面是证明
已知：线段AB和射线AC,且A、B、C不共线,F为AC上一点,
EQ∥FB,分别交AC于点E,交AB于点Q,
DP∥FB,分别交AC于点D,交AB于点P,
且AD=DE=EF.
求证：AP=PQ=QB.
证明：∵PD∥QE（已知）
∴△ADP∽△AEQ（ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,
所构成的三角形与原三角形相似）
∴AD/AE=AP/AQ（相似三角形三边对应成比例）
∴AD/AP=AE/AQ（更比性质）
∵AE=AD+DE（已知）
又∵AD=DE（已知）
∴AE=2AD（等量代换）
∴AD/AP=2AD/AQ（等量代换）
即AQ=2AP
∵AQ=AP+PQ（已知）
∴AP=PQ（等量减等量,差相等）
同理,PQ=QB
即AP=PQ=QB
证毕.

先将A三等分.在以A的1/3长为边长做等边三角形
关于怎么三等分,利用平行线,应该明白的?

画一条线,用圆规截取一段与之相等的线段,再分别以这条线段的两个端点为圆心,以线段长为半径画弧,两弧交于一点.连接三点就好了

解题思路：可作A点关于小河的对称点A′，连接A′B与小河的交点P，就是所求．

如图所示：

点评：
本题考点： 轴对称-最短路线问题．

考点点评： 此题考查了路程最短的问题，实质利用了线段垂直平分线的性质，是考试中经常出现的问题．

解题思路：根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．

根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定．

考点点评： 本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．

延长AD至A',使A'D=AD同样作出B'与C',连接A'B'C'即可.

以该点为圆心画一个弧叫直线于A B两点（半径要长）在分别以A B两点为圆心画弧 （半径要大于1/2AB）两弧交于点C 连接该点与点C

以线段一个端点做一条线段,
在线段上取出长度相同的三段,将该线段的另一个端点和要划分的线段的另一个端点连起来
然后过线段中已经量出的两个等分点作端点连线的平行线,
平行线划分原线段的交点就是三等分点

以圆周上任一点A为圆心,以同圆半径为半径画弧交圆周于B,C,连接BC,AO,交于D.以BD为半径(作图时应略大于BD)在圆周上顺次截段并连接各点,即为所求正七边形

以角顶点为圆心用圆规做圆与角两边交于两点,再分别以两交点为圆心做半径相等的圆在角内交于一点,连接该点和角顶点的线即为角平分线

平面只涉及到平方,未涉及到立方.

不行
早在公元前三世纪,希腊数学家欧几里得就知道,用圆规和直尺可以作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等等.但能不能作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢?两千年来,谁也没有作到.可是一直有很多数学家在试作.数学家们认为总是能作出来的,谁也没有想一想或许用圆规和直尺根本作不出某些正多边形.
1796年3月30日德国戈丁根大学学生高斯用圆规和直尺,作出了正17边形.这下子解决了两千年来的一大难题.这是一个十分了不起的成就,还不满20岁的高斯,不仅作出了正十七边形,更可贵的是他还证明了单用圆规和直尺根本作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形.他深入研究了多边形的规律,得出一个一般公式,清清楚楚地表示出哪些正多边形能作,哪些正多边形不能作.高斯就是这样,圆满周密地彻底解决了两千年来的一大难题.
这位了不起的青年学生,后来成了18、19世纪交替时期德国最杰出的数学家.
早在古希腊时代,人们就能够用直尺和圆规作出正三角形、正四边形、正五边形和正十五边形（以及它们的2n倍的正多边形）,但对其它一些正多边形,如正七边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形应当如何作图的问题,却长期困扰着数学家们.
1796年,正在哥廷根大学读书的19岁的高斯成功地给出了正十七边形的尺规作图法.不仅如此,后来他还证明了：对于边数是质数的正多边形,当且仅当其边数是形如2exp(2exp(n))+1的费尔玛质数时,才能用尺规作图.(exp表示指数)
这就是说,正七边形、正十一边形、正十三边形是不能用尺规作出的,因为7、11、13不是费尔玛质数,但是能作出正十七边形.高斯的成果解决了困扰人们两千多年的几何问题,震撼了全世界.
17以后的费尔玛质数是257和65537.后来有人真的给出了正257边形尺规作图法,长达80多页!一位名叫盖尔美斯的用尺规作出了正65537边形,其手稿有整整一只手提箱,现在还保存在哥廷根大学.

你怎么用尺规作图作平行线呢?这是你的方法最大的缺点.
这道题如果是你们老师出的,直接骂你们老师是傻子吧.
尺规作图不可能问题
(1)立方倍积问题:求作一立方体使它的体积2倍于一已知立方体
(2)三等分角问题:三等分一已知角
(3)化圆为方问题:求作一正方形使他的面积等于一已知圆的面积.
以上三个问题,在高等数学里已经给出严格的证明是不能用尺规作出的.
第二个问题不可能三等分一已知角也说明不可能三等分一已知线段.

1、作射线OA
2、以O为圆心,任意长为半径,在OA上画弧,并与OA交于B点.
3、保持圆规半径长不变,以原角顶点为圆心,截原角两边与C、D.
4、以B为圆心,CD长为半径,画弧,与刚才的弧相交于E点
5、连接OE,则∠EOA与原角相等.

将三角形平分为三分,
我不会上传图片也不会在电脑上作图只能这样告诉你：
无论是你的三角形是什么三角形啊,直角、钝角、还是等边三角形,你只需把其中任意一边用尺规作图法分成相等的三段,后分别 依次把两个等分点与它所对的角的顶点连接即得三个相等个三角形.

1:先连接A,B,形成线段AB
2:连接B,C,形成线段BC
3:用圆规和尺子分别做线段AB,BC的垂直平分线
4:两条垂直平分线的交点就是答案.

可以证出来BD=ED,所以点D在BE 的垂直平分线上.所以只要做BE的垂直平分线,就必过点D,垂直平分线与BE的焦点就是M,至于做BE的垂直平分线的做法,我就不说了,应该会.

任意作一圆；作这圆的两条互相垂直的直径；作两条直径所夹的直角的平分线与圆相交,得圆的八等分点；相间连结这些分点（注意不是相邻的分点）即可得圆的内接正八角星.

简单的方法是先在单位圆上做内接正五边形和内接正三角形.由于 三分之一圆周 和 五分之一圆周 的差是 2/15 圆周,只要将它二等分就得到了1/15 圆周.------------------------------------“耿直的代数方法”：用Mathem...

这在建筑工程制图里是个很经典的作业
1.以圆心为坐标原点,建立坐标系
2.以Y轴上方与圆的交点为圆心,前一个圆的直径为半径做圆,交X轴与两点A B
3.把小圆的Y轴直径7等份等份点1 2 3 4 5 6 7 8 ；
4.连接2AB 3AB 4AB ……7AB；
5.把圆上各点连接即得!
作圆内接任意多边形（以七边形为例）
（1） 将直径AB七等分；
（2） 以B为圆心,BA为半径作圆弧,交水平中心线于M和N两点;
（3） M和N分别与各奇数点(1,3,5点)连接,连线分别交圆周于Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ和Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ点.
(注意,作奇数边多边形时连奇数等分点,作偶数多边形时则连偶数等分点);
（4）依次连接Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,B,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ点,即得正七边形.

1）分别连接A、A'或B、B',再作出线段AA'或BB'的垂直平分线l,即是其对称轴；
2）过点C作对称轴l的垂线段CO,再将线段CO延长一倍至C',则C'即为点C关于直线l对称点,同理可作出点B（或点A）的对称点B'（或A'）,再连接A'B'、B'C'、A'C',所得三角形就是所求.

会作线段的垂直平分线吧,先作一条线段,然后以线段的两个端点为圆心,以大于线段1/2长为半径,两弧各交一点,过两点作直线,即可得直角.

三等分任意角用尺规作图是不可能的,该命题也已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.

三等分角
古希腊三大几何问题之一.
三等分任意角的题也许比另外两个几何问题出现更早,早到历史上找不出有关的记载来.但无疑地它的出现是很自然的,就是我们自己在现在也可以想得到的.纪元前五、六百年间希腊的数学家们就已经想到了二等分任意角的方法,正像我们在几何课本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心,用适当的半径作弧交角两的两边得两个交点,再分别以这两点为圆心,用一个适当的长作半径画弧,这两弧的交点与角顶相连就把已知角分为二等分.二等分一个已知角既是这么容易,很自然地会把问题略变一下：三等分怎么样呢?这样,这一个问题就这么非常自然地出现了.
现已证明,在尺规作图的前提下,此题无解.
三等分角的历史：
公元前4世纪,托勒密一世定都亚历山大城.他凭借优越的地理环境,发展海上贸易和手工艺,奖励学术.他建造了规模宏大的“艺神之宫”,作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆,藏书75万卷.托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义,他邀请著名学者到亚历山大城,当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市.
亚历山大城郊有一座圆形的别墅,里面住着一位公主.圆形别墅中间有一条河,公主的居室正好建立在圆心处.别墅南北围墙各开了一个门,河上建了一座桥,桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上.国王每天赏赐的物品,从北门运进,先放到南门处的仓库,然后公主再派人从南门取回居室.
一天,公主问侍从：“从北门到我的卧室,和从北门到桥,哪一段路更远?”侍从不知道,赶紧去测量,结果是两段路一样远的.
过了几年,公主的妹妹小公主张大了,国王也要为她修建一座别墅.小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样,有河,有桥,有南北门.国王满口答应,小公主的别墅很快就动工了,当把南门建立好,要确定桥和北门的位置时,却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢?
设,北门的位置为Q,南门的位置为P,卧室（圆心）为O,桥为K,
要确定北门的和桥的位置,关键是做出∠OPQ,设PO和河流的夹角是α
由 QK=QO,
得 ∠QKO=∠QOK
但是∠QKO=α+∠KPO,
又∠OQK=∠OPK
所以在△QKO中,
∠QKO+∠QOK+∠OQK
=（α+∠KPO）+（α+∠KPO）+∠KPO
=3∠KPO+2α=π
即∠KPO=（π-2α）/3
只要能把180-2α这个角三等分,就能够确定出桥和北门的位置了.解决问题的关键是如何三等分一个角.
工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置,可是他们用了很长的时间也没有解决.于是他们去请教阿基米德.
阿基米德用在直尺上做固定标记的方法,解决了三等分一角的问题,从而确定了北门的位置.正当大家称赞阿基米德了不起时,阿基米德却说：“这个确定北门位置的方法固然可行,但只是权宜之计,它是有破绽的.”阿基米德所谓的破绽就是在尺上做了标记,等于是做了刻度,这在尺规做图法则中是不允许的.
这个故事提出了一个数学问题：如何尺规三等分任意已知角,这个问题连阿基米德都没有解答出来.
所以不能用尺规作图法把一个角平均分成三等分