f (x1-x2)= fx1-fx2/1+fx1fx2 求证fx是周期函数

又想了一下,这道题只针对tan函数有效,对于任意函数,漏洞补不起来,是错误的问题,或者至少不是好问题.对于无穷这一问题绕不过去,漏洞比较明显
下面是我的思考：一是令x1=x2,易得f(0)=0；令x1=0,得f(-x2)=-f(x2),所以,这显然是奇函数.
一看这个条件,就很容易想到tan函数,但是肯定不能直接用,只能辅助思考.f (x1-x2)= （fx1-fx2）/（1+fx1fx2 ）,则易得f (x1+x2)= （fx1+fx2）/（1-fx1fx2 ）,这显然就和tan函数公式一模一样了形式了.容易联想到tan函数的周期规律,则f(2x)=2f(x)/(1-f(x)^2),f(4x)=2f(2x)/(1-f(2x)^2)=4f(x)*(1-f(x)^2)/[(1-f(x)^2)-(2f(x)^2)],从这一步可以看出,只要存在x0,使得f（x0）=1,就有
f（4x0）=0,从而f(x+2x0)=f(x-2x0),周期就是4x0,问题就可以解决.
所以就会有两个问题,一是上述推导中出现了f(2x0)这个点没有定义,趋于无穷大,这个点若不成立,f(4x0)也就没有定义,等不等于0都没有意义（这里不知道大学的知识能不能解决?就是对这个点进行修补,但是后面的问题肯定绕不过去）；二是存不存在f(x0)=1?（这个绝对不能肯定的,函数f(x)可以不存在等于1这个点的）这里要定义函数f（x）在一定区域上的连续性,然后才可以证明（事实上是不能直接定义出来的）.
反证法：f(x)恒小于1,若f(x)恒等于0,则为周期函数,不用考虑,否则一定有f(y)=a,0