（2014•鹤城区二模）如图是2013年某市举行的名师评选活动，七位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分

∵向量

OA=（3sinα，cosα），

OB=（2sinα，5sinα-4cosα），且

OA⊥

OB，
∴6sin²α+5sinαcosα-4cos²α=0，即
6sin2α+5sinαcosα−4cos2α
sin2α+cos2α=0，
变形得：
6tan2α+5tanα−4
tan2α+1=0，即6tan²α+5tanα-4=0，
分解因式得：（3tanα+4）（2tanα-1）=0，
解得：tanα=-[4/3]或tanα=[1/2]，
∵α∈（[3π/2]，2π），∴tanα＜0，
则tanα=-[4/3]．
故选：A．

点评：
本题考点： 同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算．

考点点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

由三视图知几何体是一个四棱锥，
底面是一个边长分别是a和3的矩形，
一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，
根据该几何体的体积是24，
得到24=[1/3]×a×3×4，
∴a=6，
故选B．

点评：
本题考点： 由三视图求面积、体积．

考点点评： 本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．

设直线l的斜率为k；
∵f（x，y）=（3y，2x），
故直线l在该映射下，要先做一次关于直线y=x的对称变换，此时对称直线的斜率为[1/k]；
再把直线上所有的点的横坐标扩大3倍，横坐标扩大2倍，此时直线的斜率为[2/3k]；
由B∈l，可得变换前后直线为同一直线，
即[2/3k]=k，
即k=±

6
3
当直线l的斜率为

6
3时，设直线方程为：y=

6
3x+b，
任取直线上一点A（x₀，

6
3x₀+b）
则B=f（A）=（
6x₀+3b，2x₀）
将（
6x₀+3b，2x₀）代入y=

6
3x+b得，b=0
故直线y=

6
3x满足条件；
同理直线y=-

6
3x满足条件；
故映射f的“相关直线”有2条；
故选B

点评：
本题考点： 映射．

考点点评： 本题考查的知识点是映射，函数图象的变换法则，其中分析出变换前后两条直线的斜率是解答的关键．

两列声波在出口T处发生干涉，
要第一次听到最低的声音，
需满足2l=[λ/2]
又因λ=[v/f]所以f=[v/4l]
故B正确，ACD错误；
故选：B．

点评：
本题考点： 声波．

考点点评： 考查波的叠加原理，当振动方向相同时，相互加强，当振动方向相反时，相互减弱．

（Ⅰ）证明：由题意可知：△POB与△POC全等，
OB=OC，PB=PC，D为BC的中点，
∴PD⊥BC，OD⊥BC，
又∵PD∩OD=D，
∴BC⊥面PODBC⊂面PBC，
∴面PDO⊥面PBC．…（6分）
（Ⅱ）由题意知：O为AC的中点，取PC的中点为M，连结OM，
过O作PD的垂线，垂足为N，连结MN，
由（Ⅰ）知面PDO⊥面PBC，∴ON⊥面PBC，
∵MN是OM在平面PBC上的射影，
∴∠OMN为OM与平面PBC所成的角，
∴OD＝
1
2AB＝
1
2OA＝2，PD＝
OD2+PO2＝
13，
ON＝
2×3

13＝
6
13
13，OM＝
1
2PA＝
5
2，
sin∠OMN＝
ON
OM＝
12
13
65，
∵OM∥PA，∴PA与平面PBC所成的角和OM与平面PBC所成的角相等，
∴PA与平面PBC所成的角的正弦值为
12
13
65．…（12分）

点评：
本题考点： 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．

（I） f′（x）=e^x-a
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在区间[-1，1]上为增函数
由题意可知f（-1）＞0，即 a＞−
1
e，∴−
1
e＜a≤0…（2分）
②当a＞0时，f′（x）=0，解得：x₀=lna…（3分）
x∈（-∞，x₀）f′（x）＜0，x∈（x₀，+∞）f′（x）＞0
故有当x₀∈[-1，1]，即：[1/e≤a≤e时，f（x₀）＞0即满足题意
即f（lna）=a-alna＞0，构建函数h（x）=x-xlnx（
1
e≤x≤e）
h′（x）=-lnx，当x=1时为极大值点，有h（1）≤0
故a-alna＞0不等式无解…（4分）
当x₀＜-1即0＜a＜
1
e]时，f（-1）＞0，即e^-1-a（-1）＞0
解得：a＞−
1
e，∴0＜a＜
1
e
当x₀＞1即a＞
1
e时，f（1）＞0，即e-a＞0
解得：a＜e，∴
1
e＜a＜e…（6分）
综上所述：a∈(−
1
e，
1
e)∪(
1
e，e)…（7分）
（II）由题意可知：φ(x)＝ex−
a
2x2+1，可设任意两数x₁＜x₂
若存在a使得φ（x₁）-φ（x₂）≤mx₁-mx₂成立，即：φ（x₁）-mx₁≤φ（x₂）-mx₂
构建函数：F（x）=φ（x）-mx，为增函数满足题意，即F'（x）≥0恒成立即可，F'（x）=e^x-ax-m，
构建函数G（x）=e^x-ax-m，G'（x）=e^x-a…（9分）
当a＜0时，G'（x）＞0，G（x）为增函数
则不存在a使得F'（x）≥0恒成立，故不合题意…（10分）
当a=0时，F'（x）=e^x-m≥0，可解得m≤0…（11分）
当a＞0时，可知G'（x）=e^x-a=0，即x=lna为极小值点，也是最小值点，
G（lna）=a-alna-m≥0，∴m≤a-alna，
由于存在a使得该式恒成立，即m≤（a-alna）_max，
由（I）可知，当a=1时，m≤1…（12分）
综上所述m的最大值为1…（13分）

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的构造，难度大．

（I）设该同学在一次投掷中投中2环的概率为P（A），
由题意可得是几何概型，P（A）=
S内
S大=
π×12
π×
32=[1/3]
∴该同学一次投掷投中2环的概率为[1/3]．
（II）由题意可知X可能的值为3，4，5，6，
P(X=3)=(1-
1
3)3，P(X=4)
=C13(
1
3)(1-
1
3)2=[4/9]，P(X=5)
=C23(
1
3)2(1-
1
3) =
2
9，P(X=6)=
C33(
1
3)3=
1
27
∴X的分布列为

X 3 4 5 6
P [8/27] [4/9] [2/9] [1/27]∴E(X)=3×
8
27+4×
4
9+5×
2
9+6×
1
27=4环
答：X的数学期望为4环．

点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；几何概型．

考点点评： 求古典概型的概率的基本步骤为：（1）算出所有基本事件的个数n．（2）求出事件A包含的所有基本事件数m．（3）代入公式，求出P（A）．几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化，要注意古典概型与几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），正确选用几何概型解题．

由等比数列的求和公式可得S₄=
a1(1−24)
1−2=60，
解得等比数列{a_n}的首项a₁=4，
∴a₂=a₁q=4×2=8，
故答案为：8．

点评：
本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 本题考查等比数列的性质和求和公式，属基础题．

（1）物体在B点时，做圆周运动，由牛顿第二定律可知：
T-mg=m
v2
R
解得v=
6gR
从A到C由动能定理可得：
弹力对物块所做的功W=[1/2]mv²=3mgR；
（2）物体在C点时由牛顿第二定律可知：
mg=m

v20
R；
对BC过程由动能定理可得：
-2mgR-W_f=[1/2]mv₀²-[1/2]mv²
解得物体克服摩擦力做功：
W_f=[1/2]mgR．
（3）物体从C点到落地过程，机械能守恒，则由机械能守恒定律可得：
2mgR=E_k-[1/2]mv₀²
物块落地时的动能Ek=[5/2]mgR．

点评：
本题考点： 动能定理的应用；牛顿第二定律；平抛运动；向心力．

考点点评： 解答本题首先应明确物体运动的三个过程，第一过程弹力做功增加了物体的动能；第二过程做竖直面上的圆周运动，要注意临界条件的应用；第三过程做平抛运动，机械能守恒．

∵函数y=2ae^x+b的图象经过点（O，1），
∴1=2a•e⁰+b，即2a+b=1（a＞0，b＞0）．
∴[1/a+
1
b]=（[1/a+
1
b]）•1=（[1/a+
1
b]）•（2a+b）=（2+1+[b/a]+[2a/b]）≥3+2
2（当且仅当b=
2a=
2-1时取到“=”）．
故选A．

点评：
本题考点： 基本不等式；指数函数的单调性与特殊点．

考点点评： 本题考查基本不等式，将点（O，1）的坐标代入y=2aex+b，得到a，b的关系式是关键，属于基础题．

作出不等式组对应的平面区域如图：
∵z=[2x+y/x]=2+[y/x]，
∴设k=[y/x]，则z=2+k，
k的几何意义为动点与原点连线的斜率，
∴当点位于A时，直线OA的斜率最小，
由

x−y−2＝0
x+2y−5＝0，解得

x＝3
y＝1，
此时k=[1/3]，
∴z=2+[1/3＝
7
3]，
故答案为：[7/3]；

点评：
本题考点： 简单线性规划．

考点点评： 本题主要考查线性规划的应用，将目标函数转化为z=2+k，是解决本题的关键．

当有光照射R₁时，R₁的电阻减小，则整个电路总电阻变小，电动势不变，则电流增大，所以R₂两端的电压增大，R₁两端的电压减小，即信号处理系统获得低电压．而信号处理系统每获得一次高电压就记数一次．故①③正确．
故选：A．

点评：
本题考点： 常见传感器的工作原理．

考点点评： 解决本题的关键掌握光敏电阻的电阻大小随光照而减小，以及熟练运用闭合电路欧姆定律进行动态分析．

A、c光的波长最长，a光波长最短，由于干涉条纹的间距与波长成正比，a光形成的干涉条纹的间距最小．故A错误．
B、a、b、c三种色光中，a光的偏折程度最大，则a光的折射率最大，则频率最大，根据E=hv，知a光的光子能量最大．故B正确．
C、由图看出，c光的折射率最小，a光的折射率最大，则a光的频率最大，c光的频率最小，当b光照射某种金属时能发生光电效应，则用a光照射此金属时一定能产生光电效应．故C错误．
D、c光的折射率最小，a光的折射率最大，由临界角公式sinC=[1/n]分析得知，a光的临界角最小，c光临界角最大，则若让a、b、c三色光以同一入射角，从空气中某方向射入一介质，b光恰能发生全反射，则c光不一定能发生全反射．故D错误．
故选：B．

点评：
本题考点： 光通过棱镜时的偏折和色散；全反射；光电效应．

考点点评： 本题光的色散现象，对于色散研究得到的七种色光排列顺序、折射率大小等等要记牢，同时，要记住折射率与波长、频率、临界角的关系，这些都是考试的热点．

∵∀x∈R，都有x²+1≥2x，∴命题p为假命题；
又△=m²+4＞0，∴不等式x²-mx-1＞0不恒成立，∴命题q为假命题，
由复合命题真值表知：￢p为真命题；p∨q为假命题；p∧q为假命题；
故选：C．

点评：
本题考点： 复合命题的真假；命题的否定．

考点点评： 本题考查了复合命题的真假判定，命题的否定及不等式的恒成立问题，熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．

在△ABC中，由正弦定理：[AC/sinθ]=[AB
sin
π/3]=[BC
sin(
2π/3−θ)]，
化简得：AC=[ABsinθ
sin
π/3]=
6sinθ


3
2=4
3sinθ，BC=
ABsin(
2π
3−θ)
sin
π
3=
6sin(
2π
3−θ)


3
2=4
3sin（[2π/3]-θ）=4

点评：
本题考点： 正弦定理；解三角形的实际应用．

考点点评： 此题考查了正弦定理，以及解三角形的实际应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．