设f(x)＝23cosx(3cosx−sinx)．

解题思路：（I）利用两个向量的数量积公式化简f（x）的解析式为 2sin（2x+[π/6]）+1，从而求得它的周期．再由
2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 cosB=-[1/2]，B=[2π/3] 得到 f（A）=2sin（2A+[π/6]）+1，根据A的范围，
求出 2A+[π/6] 的范围，可得sin（2A+[π/6]）的范围，从而求得f（A）的取值范围．

（I）f（x）=

a•

b=2cos²x+2
3sinxcosx=2sin（2x+[π/6]）+1，故函数的周期为π．
令 2kπ-[π/2]≤2x+[π/6]≤2kπ+[π/2]，k∈z，可得 kπ-[π/3]≤x≤kπ+[π/6]，k∈z，
故函数的单调递增区间为[kπ-[π/3]，kπ+[π/6]]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得（sinA+2sinC）cosB=-sinBcosA，
即sinAcosB+2sinCcosB=-sinBcosA，sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosB，
即sin（A+B）=-2sinCcosB，∴cosB=-[1/2]，B=[2π/3]，∴f（A）=2sin（2A+[π/6]）+1．
由于 0＜A＜[π/3]，∴[π/6]＜2A+[π/6]＜[5π/6]，＜[1/2]sin（2A+[π/6]）≤1，2＜f（A）≤3，
故f（A）的取值范围为（2，3]．

点评：
本题考点： 平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理．

考点点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，两个向量的数量积公式，正弦定理的应用，属于中档题．

解题思路：（1）利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理后，利用了三角函数图象和性质求得其单调区间．
（2）根据x的范围，利用三角函数图象和性质求得函数的在此范围上最大和最小值，得到函数在[0，[π/4]]的值域．

（1）f（x）=

m•

n=cos2x−sinx(sinx−2
3cosx)=cos2x+
3sin2x=2sin(2x+
π
6)，
∵函数y=sinx的单调增区间为[2kπ−
π
2，2kπ+
π
2]，k∈Z
∴2kπ−
π
2≤2x+
π
6≤2kπ+
π
2，
∴kπ−
π
3≤x≤kπ+
π
6，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ−
π
3，kπ+
π
6]，k∈Z
（2）当x∈[0，
π
4]时，[π/6≤2x+
π
6≤
2π
3]，
∴1≤2sin(2x+
π
6)≤2
∴函数f（x）的值域为[1，2]．

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．

考点点评： 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．要求对三角函数的图象能熟练记忆，利用图象来解决三角函数的问题．

解题思路：（1）由已知中向量

a

=（sinx，2

3

cosx），

b

=（2sinx，sinx），设f(x)＝

a

•

b

−1，根据向量数量积计算公式，我们易求出f（x）的解析式，利用降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们可将其化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质，得到（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）根据（1）中所得函数f（x）的解析式，结合x∈[ 0 ，

π

2

]及正弦型函数的图象和性质，可求出此时f（x）的值域；
（3）f（x）的图象按

m

=（t，0）作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，即此时原点是f（x）的对称中心，根据（1）中解析式，求出函数f（x）的距离原点最近的对称中心，即可得到

m

的坐标．

f(x)＝

a•

b −1＝2sin2x+2
3cosxsinx−1=1−cos2x+
3sin2x−1=2sin ( 2x−
π
6 )（4分）
（1）最小正周期为：T＝
2π
2＝π−
π
2+2kπ≤2x−
π
6≤
π
2+2kπ（k∈Z）−
π
6+kπ≤x≤
π
3+kπ（k∈Z）
∴单调递增区间为[−
π
6+kπ，[π/3+kπ]（k∈Z）（7分）
（2）∵x∈[ 0 ，
π
2 ]∴2x−
π
6∈[ −
π
6 ，
5
6π ]
∴sin ( 2x−
π
6 )∈[ −
1
2 ，1 ]∴f（x）∈[-1，2]（10分）
（3）2x−
π
6＝kπ⇒x＝
π
12+
kπ
2]（k∈Z）
∴f（x）的对称中心坐标为（

点评：
本题考点： 平面向量的综合题．

考点点评： 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的周期，单调性，最值及函数图象的平移变换，是三角函数图象和性质与平面向量的综合应用，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．

解（1）∵f（x）=

m•

n=cos²x−sinx(sinx−2
3cosx)
=cos2x−sin2x+2
3sinxcosx
=cos2x+
3sin2x
∴f(x)＝2sin(2x+
π
6)，
∵x∈(0，
π
2)，
∴[π/6＜2x+
π
6≤
7π
6]
∴sin(2x+
π
6)∈(−
1
2，1]
∴y=f（x）的值域为（-1，2]；…（7分）
（2）由f(
α
2)＝
2
3⇒2sin(α+
π
6)＝
2
3⇒sin(α+
π
6)＝
1
3
∴cos(2α−
2
3π)＝cos[2(α+
π
6)−π]＝−cos2(α+
π
6)＝−1+2sin2