设点A,F分别是双曲线9x^-3y^2=1的左焦点和右焦点,点P是右支点的动点,求证当点P运动时恒有

（1）过A作AE⊥x轴，垂足为E，交BC于点D，如图所示，

设直线BC解析式为y=kx+b，
将C（0，m），B（3，0）代入得：

b＝m
3k+b＝0，
解得：

k＝−
1
3m
b＝m，
∴直线BC解析式为y=-[1/3]mx+m，
∵A（1，4），
∴D横坐标为1，
将x=1代入直线BC解析式得：y=[2/3]m，即DE=[2/3]m，
∴AD=AE-DE=4-[2/3]m，
则S=S_△ACD+S_△ABD=[1/2]×1×（4-[2/3]m）+[1/2]×（3-1）×（4-[2/3]m）=6-m（m＜6）；
（2）如图所示，做出A关于y轴的对称点A′，连接A′B，与y轴交于点C，此时△ABC周长最小，

∵A（1，4），
∴A′（-1，4），
设直线A′B解析式为y=ax+b，
将A′（-1，4），B（3，0）代入得

点评：
本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，对称的性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

证明：法（1）如图，延长AD至F，使得CF⊥AC，
∵AB⊥AC，AD⊥BM，
∴∠ABM=∠DAC，
又∵AB=AC，CF⊥AC，
∴△ABM≌△CAF，
∴∠BMA=∠F，AM=CF，
∵∠BCA=∠BCF=45°，AM=CM=CF，DC=DC，
∴△FCD≌△MCD，
∴∠AMB=∠F=∠CMD；
法（2）AD交BM于E，作∠BAC的平分线交BM于N，

∵AE⊥BM，BA⊥AC，
∴∠ABN=∠CAE，
∵∠BAN=∠C=45°，AB=AC，
∴△BAN≌△ACD．
∴AN=CD，
∵∠NAM=∠C=45°，AM=MC
∴△NAM≌△DCM，
∴∠AMB=∠CMD．

点评：
本题考点： 等腰直角三角形；三角形内角和定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查了解等腰直角三角形；解题的关键是根据题意画出图形，再根据解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判断与性质进行解答即可．

（1）如图
A关于直线OP的对称点正好落在x轴上，
∵根据轴对称性质∴得出OA=OB=2，
∴B点的坐标是（2，0）；
（2）
①如图1，过A作AZ⊥直线l₁于Z，延长AZ到C，使AZ=ZC，则C为A关于直线l₁的对称点，
∵根据轴对称性质得出OA=OC=2，
∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，
∴∠BOC=55°+55°-90°=20°，
故答案为：20°，2；
②如图2，过A作AM⊥直线l₂于M，延长AM到D，使AM=MD，则D为A关于直线l₂的对称点，
∵根据轴对称性质得出OA=OD，
∴∠AOM=∠DOM=180°-（45°+55°）=80°，
80°+80°-90°=70°，
∴∠BOD=180°-70°=110°，
故答案为：110°；
③直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径为以O为圆心，以2为半径的弧BQ（Q为A关于旋转n°后直线l₁的对称点），
圆心角∠BOQ=2（45°+n°）-90°=2n°，
由弧长公式得：[2nπ×2/180]=[nπ/45]，
故答案为：[nπ/45]．

点评：
本题考点： 旋转的性质；弧长的计算；坐标与图形变化-对称．

考点点评： 本题考查了旋转的性质，轴对称性质，弧长公式，坐标与图形性质等知识点，此题难度偏大，对学生提出较高的要求．

由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点．
∴|OM|=|CM|，
设M（x，y），则
x2+y2＝
(x−2)2+(y−2)2，
化为x+y-2=0．
故答案为x+y-2=0．

点评：
本题考点： 与直线有关的动点轨迹方程．

考点点评： 本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题．

∵tanα=3x²-1，
∴tanα∈[-1，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，[π/2]）；
当tanα∈[-1，0）时，α∈[[3π/4]，π）．
∴α∈[0，[π/2]）∪[[3π/4]，π）
故选B．

点评：
本题考点： 导数的几何意义．

考点点评： 此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．

（1）m=-1[1/2]+2=[1/2]；

（2）|m-1|+（m-6）²，
=|[1/2]-1|+（[1/2]-6）²，
=[1/2]+[121/4]，
=[123/4]．

点评：
本题考点： 数轴．

考点点评： 本题考查了数轴，绝对值的性质和有理数的乘方，理解数轴上的数向右移动加是解题的关键．

∵tanα=3x²-1，
∴tanα∈[-1，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，[π/2]）；
当tanα∈[-1，0）时，α∈[[3π/4]，π）．
∴α∈[0，[π/2]）∪[[3π/4]，π）
故选B．

点评：
本题考点： 导数的几何意义．

考点点评： 此题考查了利用导数研究曲线上某点切线的方程，直线倾斜角与斜率的关系，以及正切函数的图象与性质．要求学生掌握导函数在某点的函数值即为过这点切线方程的斜率，且直线的斜率为倾斜角的正切值，掌握正切函数的图象与性质．

（1）点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，点P的运动时间为t秒时，BP=2t，
则PC=10-2t；
（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP，
∵当t=2.5时，BP=2.5×2=5，
∴PC=10-5=5，
∵在△ABP和△DCP中，


AB＝DC
∠B＝∠C＝90°
BP＝CP，
∴△ABP≌△DCP（SAS）；
（2）①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB=6，
∴PC=6，
∴BP=10-6=4，
2t=4，
解得：t=2，
CQ=BP=4，
v×2=4，
解得：v=2；
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB=PC，
∴BP=PC=[1/2]BC=5，
2t=5，
解得：t=2.5，
CQ=BP=6，
v×2.5=6，
解得：v=2.4．
综上所述：当v=2.4或2时△ABP与△PQC全等．

点评：
本题考点： 全等三角形的判定．

考点点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．

由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点．
∴|OM|=|CM|，
设M（x，y），则
x2+y2＝
(x−2)2+(y−2)2，
化为x+y-2=0．
故答案为x+y-2=0．

点评：
本题考点： 与直线有关的动点轨迹方程．

考点点评： 本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题．

∵PA⊥x轴于点A，交C₂于点B，
∴S_△POA=[1/2]×4=2，S_△BOA=[1/2]×2=1，
∴S_△POB=2-1=1．
故答案为1．

点评：
本题考点： 反比例函数系数k的几何意义．

考点点评： 本题考查了反比例函数y=[k/x]（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=[k/x]（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．