数阵图规律有九个数字分别是：0,3,3,6,6,9,9,12,15把他们分别组成三列三排,使这9个方格中的数字,三个横的

第1个奇数为1，第2个奇数为3，第3个奇数为5…，第k个奇数为2k-1，
前k个奇数之和为1+3+5+…+（2k-1）=k²，
于是，在如图所示的三角形数阵中，前k行共有k²个奇数，前k-1行共有（k-1）²个奇数，
于是第k行第1个奇数为2【（k-1）²+1】-1=2（K-1）²+1．
现在31²=961，32²=1024，2×31²＜2×32²+1，
故2003位于第32行上．
由于第32行上第1个数为2×31²+1=1923，
1923～2003共有[2003−1923/2]+1=41个奇数，
因此，2003为第32行，第41个数．
故答案为32；41

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 此题主要考查学生对数字有规律变化的理解和掌握，解答此题的关键是通过对题目中给出的图形，数据，数阵等进行分析，总结归纳出规律，此类题目一般难度偏大，属于难题．

设第一行的第二个数为a₁=1，
由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a_n+1=a_n+n，
即a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…a_n-1-a_n-2=n-2，a_n-a_n-1=n-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₄-a₃）+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=（n-1）+（n-2）+…+3+2+1+1=
(n−1)•n
2+1=
n2−n+2
2；
故答案为：
n2−n+2
2．

点评：
本题考点： 数列的函数特性；进行简单的合情推理．

考点点评： 本题数列的函数特性、简单的合情推理，属基础题，根据三角形阵寻找规律是解决该题的关键所在．

∵第一列数依次为 1²、2²、3²，…，
而961=31²＜1000＜32²=1024，
∴1000位于第32行左起1024-1000+1=25个数，
∴1000正下方是第33行左起第25个数，此数为33²-25+1=1065．

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．

（1）框内的4个数：
16+26=14+28；
26-14=12，28-16=12，

（2）∵其中的一个数为x，
∴第三个数为：x+2，x+12，x+14，

（3）∵四个数的和是172，
∴x+x+2+x+12+14+x=172，
解得：x=36，
∴这4个数是：36，38，48，50．

（4）当x+x+2+x+12+14+x=2008，
解得：x=495，
∵495是奇数，
∴四个数的和不可以是2008．

点评：
本题考点： 一元一次方程的应用．

考点点评： 此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．尤其是有阅读材料的题目一定要审题细致，思维缜密．

由排列的规律可得，第4行结束的时候排了1+2+3+4=10个数．
所以5行从左向右的第3个数10+3=13．
由排列的规律可得，第（n-1）行结束的时候排了1+2+3+…+（n-1）=
n(n−1)
2个数．
所以n行从左向右的第3个数
n(n−1)
2+3=
n2−n+6
2．
故答案为 13，
n2−n+6
2．

点评：
本题考点： 规律型：数字的变化类．

考点点评： 此题主要考查了数字变化规律，本题借助于一个三角形数阵考查了数列的应用，是道基础题．

（Ⅰ）数阵的第n行有n个数，所以前10行的数的个数有：1+2+3+…+10=55．
又正整数列第n个数前（包括第n个数）所有数的个数为n，
所以第10行最右边的数为55．…（2分）
（Ⅱ）前n行所有个数为：1+2+3+…+n=
1
2n(n+1)，…（4分）
所以，第n行最右边的数为
1
2n(n+1)．
第n行最左边的数为
1
2n(n+1)−(n−1)＝
1
2n2−
1
2n+1．…（6分）
（Ⅲ）又n=63时，第63行最左边的数为：
1
2×63×62+1＝1954，
第63行最右边的数为：
1
2×64×63＝2016，…（8分）
所以2007位于第63行．
又因为2007-1954=53，故2007位于第63行的第54位．…（10分）

点评：
本题考点： 归纳推理；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查归纳推理，等差数列的通项公式，前n项和公式及其应用，属于基础题．

设第k行的第一个数为a_k，
则a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a₃=12=2a₂+2²，
a₄=32=2a₃+2³，
…
由以上归纳，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），
∴
ak
2k=
ak−1
2k−1+[1/2]，即
ak
2k-
ak−1
2k−1=[1/2]，
∴数列{
an
2n}是以
a1
2=[1/2]为首项，以[1/2]为公差的等差数列，
∴
an
2n=[1/2]+（n-1）×[1/2]=[n/2]，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，
且公差依次为：2，2²，…，2^k，…
第n行的首项为a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差为2ⁿ，
∴第32行的首项为a₃₂=32•2³¹=2³⁶，公差为2³²，
∴第32行的第17个数是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故选A．

点评：
本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的应用，解题时要认真审题，合理地总结规律，注意归纳法和构造法的合理运用．

∵每行正整数的个数与行数相同，1+2+3+••+n=
n(n+1)
2
∴
n(n+1)
2≥2014，
n(n−1)
2＜2014
解得n=63，
因为第62行的第一数是
62×(63+1)
2=1953，
所以第63行的第一个数是1954，
因为2014-1954+1=61，
所以2014是从上至下第63行中的行中的从左至右第第61个数．
故答案为：63；61

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题考查数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

图中的每一行的数据由小到大排列后，是一个以1为首项，以3为公差的等差数列，则。

由于图中，第一行1个数，第二行2个数，第三个3个数，

∴前行共有个数据，

则第行从左向右的第1个数为数列的项

即，

∴

故第12行第一个数为，所以第12行的从左至右的第4个数是。

<>

观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n-1
设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a_n}，则有a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，a₅-a₄=7，…，a_n-a_n-1=2n-3，
相加得a_n-a₂=3+5+…+（2n-3）=[3+2n−3/2]×（n-2）=n（n-2）
a_n=3+n（n-2）=n²-2n+3．
故答案为：n²-2n+3．

点评：
本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题主要考查了数列的应用，以及利用叠加法求数列的通项，同时考查了等差数列求和，属于中档题．

∵根据数据变化规律可知：每一行的第2个数据是上一行两个数据的和，
∴可以得出：
第6行前2个数为11，27，…；
第7行前2个数为13，38，…；
第8行前2个数为15，51，…；
第9行前2个数为17，66，…；
故答案为：66．

点评：
本题考点： 进行简单的合情推理；数列的函数特性．

考点点评： 此题主要考查了数字的规律，得出每一行的第2个数据是上一行两个数据的和是解决问题的关键．

最小的数是上行最左边的数，设它是a，可得方程：
a+（a+1）+（a+2）+（a+8）+（a+9）+（a+10）=432，
6a+30=432，
6a=402，
a=67．
答：这六个数中最小的数是67．

点评：
本题考点： 数阵图中找规律的问题．

考点点评： 此题考查了数阵图中找规律的问题，认真观察，找出规律，列出等式，计算求解是解决此题的关键．

（1）b=a+2；c=b+10=a+12；d=c+2=a+14．

（2）∵a+b+c+d=188
∴a+a+2+a+12+a+14=188
∴a=40
答：这四个数是：40，42，52，54．

（3）由图中的规律可得：有理数110在上面数阵中的第11排、第5列．

点评：
本题考点： 一元一次方程的应用．

考点点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．尤其是有阅读材料的题目一定要审题细致，思维缜密．

（I）a₄₅=49．

（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a_1j=4+3（j-1），
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a_2j=7+5（j-1），
第i行是首项为4+3（i-1），公差为2i+1的等差数列，因此
a_ij=4+3（i-1）+（2i+1）（j-1），
=2ij+i+j=i（2j+1）+j．

（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得N=i（2j+1）+j，
从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），
从而N=k（2l+1）+l=a_kl，
可见N在该等差数阵中．
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

点评：
本题考点： 等差数列的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的通项公式．

考点点评： 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．

图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k²，前k行共有
k(k+1)
2个数，
前62行有1953个数，由2010个数出现在第63行，第57个数，
第62行第一个数为62²+1=3845，公差为2的等差数列
∴a₂₀₁₀=3845+（57-1）×2=3957，
故答案为：3957

点评：
本题考点： 进行简单的合情推理．

考点点评： 本题主要考查学生会根据图形归纳总结规律来解决问题，会进行数列的递推式运算，属于中档题．

（1）设第一行第一个数为x，则其余3个数依次为x+2，x+8，x+10．
（2）根据题意得：x+x+2+x+8+x+10=200，
解得：x=45，
∴这四个数依次为45，47，53，55．
答：这四个数依次为45，47，53，55．
（3）不存在．
∵4x+20=420，
解得：x=100，
为偶数，不合题意，故不存在．

点评：
本题考点： 一元一次方程的应用．

考点点评： 注意养成善于观察和思考的习惯．