将f(x)=1/4ln[(1+x)/(1-x)]+1/2arctanx在x=0处展开成幂级数

f(x) = [ 2arctanx / π ] ^ x ,ln f(x) = x * [ ln(2/π) + ln arctanx ]
lim(x->+∞) ln f(x)
= lim(x->+∞) [ ln(2/π) + ln arctanx ] / (1/x) o/o,洛必达法则
= lim(x->+∞) (1/arctanx) * 1/(1+x²) / (-1/x²)
= -2/π
原式 = e ^ (-2/π)

对函数求导,令导函数值等于0,求出极值（其中arctanx求导=1/1+x2 2是平方）；二次求导,令导函数等于0,求出拐点,导函数值大于0,凹,小于0,凸

ln（1+x/1-x）=ln(1+ 2x/(1-x) 2x/(1-x)～2x 【x→0时】而2arctanx～2x,因此它们是等价无穷小,原式可化为=lim (2x-2x/(1-x)）/x^n=2·lim (1-1/(1-x))/x^(n-1)= -2·lim (x/(1-x))/x^(n-1)= -2·lim (1/(1-x))/x^(n-...

p＝3,c＝－4/3
洛必达法则
原式＝lim [2/(1+x^2)-2/(1-x^2)]/[px^(p-1)]＝lim [－4x^(3-p)/p]

如果是0/0,∞/∞或0·∞的不定式且整个式子中有单独的可替换等价无穷小的因子则可以而且最好是将其替换为较简单的因子.
但如果分子中是被+或-隔开的就要慎重一些,不能冒然将整个式子按+-号拆开.
如果拆开之后的两个极限都存在才可以拆.

y'=1-2/(1+x²)=(x²-1)/(x²+1)
x

sin[arcsin(2x/1+x^2)]=2x/(1+x^2)
sin(2arctanx)=2sin(arctanx)cos(arctanx)=2(x/√(1+x²)][√(1/1+x²)]=2x/(1+x²)
这是因为α=arctanx,-π/4

1.设f(x）=x^5+x^3+x+5,当x足够小时,必存在f（a）0（如b=100）
根据零值定理,f（x）至少有一个实根c,使f（c）=0
f（x）’=5x^4+3x^2+1>0恒成立,所以f（x）单调递增,f（x）=0至多只有一个实根
综上,f（x）=0有且仅有一个实根
2.g（x）=2arctanx+arcsin（2x/(1+x^2)
g(x)'=2/(1+x^2)+1/跟号1-(2x/(1+x^2)^2*[(2x/(1+x^2)]'
=2/(1+x^2)+1/根号1-(2x/1+x^2)^2*(2-2x)/(1+x^2)^2
=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)根号（1+x^2-2x)
因为x大于等于1,所以g（x)'=2/(1+x^2)+(2-2x)/[(1+x^2)(x-1)
=0
所以
g(x)=C=g(1)=2arctan1+arcsin1=2*π/4+π/2=π
得证.

lim [(2arctanx)/π]^x
x→+∞
=lim e^ln{[(2arctanx)/π]^x} (对数恒等式)
x→+∞
=lim e^{xln[(2arctanx)/π]} (对数运算法则)
x→+∞
=e^{lim xln[(2arctanx)/π]} (初等函数的连续性)
x→+∞
=e^{lim ln[(2arctanx)/π]/(1/x)} (化为“0/0”,用洛必达法则）
x→+∞
=e^(-2/π)
注：^表示乘方；解题过程可参照括号中的说明.