三棱锥P-ABC中，△ABC是底面，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB，

正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，

2
3×

3
2a=1，a=
3
该正三棱锥的体积：
1
3×

3
4×(
3)2×1=

3
4
故答案为：

3
4

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．

三棱锥的三条侧棱两两垂直，扩展为长方体，二者的外接球是同一个，
因为三棱锥S-ABC的侧面积为2，
设长方体的三同一点出发的三条棱长为：a，b，c，
所以[1/2]（SA•SB+SA•SC+SB•SC）=[1/2]（ab+bc+ac）=2，
⇒ab+bc+ac=4，
该三棱锥外接球的直径2R就其长方体的对角线长，
从而有：（2R）²=a²+b²+c²≥ab+bc+ac=4，当且仅当a=b=c时取等号．
∴2R≥2⇒R≥1，
则该三棱锥外接球的表面积的最小值为4πR²=4π×1²═4π
故答案为：4π．

点评：
本题考点： 球内接多面体；球的体积和表面积．

考点点评： 本题是基础题，考查球的内接体知识，基本不等式的应用，考查空间想象能力，计算能力，三棱锥扩展为长方体是本题的关键．

（1）取BC中点D，连接AD、PD；

在等腰三角形PBC、ABC中，PD⊥BC，AD⊥BC，故∠PDA为二面角P-BC-A的平面角．（2分）
在等腰直角△ABC中，由AB=AC=4及AB⊥AC，得AD=2
2．
由PA⊥平面ABC，得PA⊥AD．
在直角△PAD中，tan∠PDA=[PA/AD]=
5
2
4． （6分）
故二面角P-BC-A的大小为arctan
5
2
4． （8分）
（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．
∴该圆锥的体积V=[1/3×5×π×42=
80π
3]． （12分）

点评：
本题考点： 用空间向量求平面间的夹角；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查面面角，考查几何体体积的计算，正确确定面面角是解题的关键．

（1）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，∴AC⊥PB…（1分）
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB…（2分）
又∵PB∩CB=B，∴AC⊥平面PBC …（3分）
∵BE⊂平面PBC，∴AC⊥BE …（4分）
∵PB=BC，E为PC中点，∴BE⊥PC …（5分）
∵PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC …（6分）
（2）证明：取AF的中点G，AB的中点M，连接CG，CM，GM，
∵E为PC中点，FA=2FP，∴EF∥CG．…（7分）
∵CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CG∥平面BEF．…（8分）
同理可证：GM∥平面BEF．
又CG∩GM=G，∴平面CMG∥平面BEF．…（9分）
∵CM⊂平面CDG，∴CM∥平面BEF．…（10分）
（3）由（1）可知BE⊥平面PAC
又PB=BC=4，E为PC的中点，∴BE=2
2．
∵S△AEF＝
1
3S△PAC=
1
3×
1
2×AC×PC＝
8
3
2 …（12分）
∴V_F-ABE=V_B-AEF=[1/3×S△AEF×BE=
32
9]
∴三棱锥F-ABE的体积为[32/9]．…（14分）

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（Ⅰ）证明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=90°，
∴AP⊥AC，∴AP⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴AP⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩BC=B，
∴BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）∵E、D是PB、PC中点，∴DE∥BC，
∵BC⊥平面PAB，∴DE垂直平面PAB，
∴PD⊥DE，AD⊥DE，
∴∠PDA为A-DE-P所成的二面角，
∵EDP=90°，PE=2DE，∠DPE=30°，PD=

3
2•PE，DE=[1/2]PE，
∠APE=90°，PC=PA，AE=2PE，AP=
3PE，AD=
AE2−DE2=

15
2PE，
cos∠PDA=
PD2+AD2−PA2
2PD•AD
=
(

3
2PE)2+(

15
2PE)2−(2PE)2
2×

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．

（1）证明：如图：

取AB，AC的中点分别为D、E，
取BD、EC的中点分别为N、F，
连接PD、PE、DE、MF、NF，
由PA=PB知PD⊥AB，D、E为直线AB，AC的中点，DE∥BC，而BC⊥平面PAB，
∴DE⊥AB，而PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，而NF∥DE，MF∥PE 知平面PDE∥平面MNF，
∴AB⊥平面MNF，MN⊂平面MNF，
∴MN⊥AB．
（2）由（1）以及BC=2可得GM=1，

取BP中点为G，则MG∥BC，又BC⊥面ABP，
∴MG⊥面ABP，
∴MG⊥GN，
GN=[1/2]PD=[1/4AB=1，
∴MN=
GM2+GN2]=
2．

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．

考点点评： 本题主要考查了直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

取BC中点D，连接OD，AD，则平面OAD平分三棱锥的体积，
即三角形OAD面积为S₁，
在Rt△BOC中，OD是斜边BC上的中线，∴OD=[1/2]BC，
∵OA⊥OB，OA⊥OC，∴OA⊥平面BOC，
∵OD⊂平面BOC，
∴OA⊥OD，
∴S₁=OA×[1/2]OD，
即S₁²=[1/4]OA²OD²=[1/16]OA²BC²=[1/16]OA²（OB²+OC²）=[1/16]（OA²OB²+OA²OC²）．
同理可得S₂²=[1/16]（OA²OB²+OB²OC²），
S₃²=[1/16]（OA²OC²+OB²OC²），
因为OA＞OB＞OC
所以S₁²＞S₂²＞S₃²
所以S₁，S₂，S₃中的最小值是S₃．
故答案为：S₃．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查棱锥中截面面积的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意勾股定理的灵活运用．

正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，

2
3×

3
2a=1，a=
3
该正三棱锥的体积：
1
3×

3
4×(
3)2×1=

3
4
故答案为：

3
4

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．