(x+y)dx+xdy=0求其通解

ammonite2022-10-04 11:39:540条回答

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令y=xu
则y'=u+xu'
代入方程得：x+xu+x(u+xu')=0
1+u+u+xu'=0
xu'=-(2u+1)
du/(2u+1)=-dx/x
d(2u)/(2u+1)=-2dx/x
积分：ln|2u+1|=-2ln|x|+C1
2u+1=C/x²
2y/x+1=C/x²
2xy+x²=C

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验证下列是否为全微分方程并求其解：（y^2-y）dx+xdy=0 不在沉默的羔羊1年前1: 执着风共回答了13个问题 | 采纳率84.6%

Pdx+Qdy
全微分的话
P=dI/dx,Q=dI/dy
所以只需检查dP/dy=dQ/dx否
dP/dy=2y-1
dQ/dx=1
不是全微分
分离变量
dy/y(y-1)=-dx/x
两边积分
1/y(y-1)=1/(y-1)-1/y
ln|(y-1)/y|=-ln|x|
|(y-1)/y|=1/|x|+C

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(x+y)dx+xdy=xdx+(ydx+xdy)=xdx+d(xy)=0
即d(xy)=-xdx
两端求积分得,xy=-x^2/2+c
所以,y=-x/2+c/x

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齐次方程(2√xy -y)dx+xdy=0的通解 飘荡云彩1年前1: barney09 共回答了18个问题 | 采纳率94.4%

2√(y/x)-y/x+dy/dx=0
令y/x=t^2
则y=t^2x,dy/dx=2xtdt/dx+t^2
2t-t^2+2xtdt/dx+t^2=0
2xdt/dx=-1
2dt=-dx/x
两边积分：2t=-lnx+C
(√y/x=)t=-ln√x+C
y=x(-ln√x+C)^2

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解微分方程 (y²-2xy)dx+x²dy=0 解微分方程 (y²-2xy)dx+x²dy=0 课上刚学我没掌握书都没有 新年将至1年前1: 你觉得覅共回答了15个问题 | 采纳率100%

令：v=y/x,y=xv,dy=vdx+xdv
dy/dx = -(y^2-2xy)/x^2
(vdx+xdv)/dx = 2v - v^2
v+xdv/dx = 2v - v^2
xdv/dx = v - v^2
dv/[v(1 - v)] = dx/x
∫dv/[v(1 - v)] = ∫dx/x
∫dv/v + ∫dv/(1 - v)] = ∫dx/x
lnv - ln(1-v) = lnx
ln(v/(1-v))=lnx+lnc
v/(1-v)=cx
(y/x)/(1-(y/x))=cx
y/(x-y)=cx
y=cx(x-y)

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