在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于E,BD ⊥AE于D,DM ⊥AC交ACM,连接CD

（1）证明：连接OE．
∵AB=AC且D是BC中点，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
则∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．
（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，AD⊥BC，EO∥AD，
∴∠BAD=∠EOB=60°且AE平分∠BAD，
∴∠EAO=∠EAG=30°
又∵∠EFG与∠GAE都对应弧GE
∴∠EFG=∠GAE=30°（同弧所对的圆周角相等）
∴∠EFG=30°．

点评：
本题考点： 切线的判定．

考点点评： 此题考查了切线的判定、等腰三角形性质等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

四边形ABEF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴▱ABEF是菱形．

点评：
本题考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．

考点点评： 此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

∵DF⊥AE于F，∠ADF=50°
∴∠DAE=40°
∵AE平分∠BAD
∴∠DAB=40°×2=80°
∵ABCD是平行四边形
∴∠BAD=∠C
∴∠C=80°
故选B．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质．

考点点评： 此题主要考查学生对平行四边形的性质及角平分线的性质的运用能力，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

四边形ABEF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴▱ABEF是菱形．

点评：
本题考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．

考点点评： 此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC-BE=4-3=1，
故选B．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质．

考点点评： 本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．

在平行四边形ABCD中，则AB∥CD，
∴∠2=∠3，
又AE平分∠BAD，即∠1=∠3，
∴∠1=∠2，即DE=AD，
又AD=5cm，AB=8cm，
∴EC=CD-DE=8-5=3cm．
故EC的长为3cm．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质．

考点点评： 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握．

四边形ABEF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴▱ABEF是菱形．

点评：
本题考点： 菱形的判定；平行四边形的性质．

考点点评： 此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

∵∠B=32°，∠C=56°，
∴∠BAC=92°．
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠BAE=[1/2]∠BAC=46°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=78°．
∵AD⊥BC，DF⊥AE，
∴∠ADF=∠AED=78°．

点评：
本题考点： 三角形内角和定理；角平分线的定义．

考点点评： 此类题要首先明确思路，运用三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义、等角的余角相等进行求解．

（1）∵∠B=30°，∠C=70°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=[1/2]∠BAC=40°
∵AD是高，∠C=70°
∴∠DAC=90°-∠C=20°
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°；
（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC-∠DAC=[1/2]∠BAC-（90°-∠C）①
把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①，整理得
∠EAD=[1/2]∠C-[1/2]∠B，
∴2∠EAD=∠C-∠B．

点评：
本题考点： 三角形的角平分线、中线和高．

考点点评： 本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解．

∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=2，
∴EC=BC-BE=5-2=3，
故选A．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质．

考点点评： 本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，解题关键是根据已知得出∠BAE=∠AEB，难度一般．

∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠AEB=45°，AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠ACB=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°，
∴∠BAO=60°，
又∵OA=OB，
∴△BOA是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
即OB=AB=BE，
∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，
∴∠BOE=[1/2]（180°-30°）=75°．
故答案为：75．

点评：
本题考点： 矩形的性质．

考点点评： 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，求出∠ACB=30°，然后判断出等边三角是解本题的关键．

∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠AEB=45°，AB=BE，
∵∠CAE=15°，
∴∠ACB=∠AEB-∠CAE=45°-15°=30°，
∴∠BAO=60°，
又∵OA=OB，
∴△BOA是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
即OB=AB=BE，
∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE=∠OCB=30°，
∴∠BOE=[1/2]（180°-30°）=75°．
故答案为：75．

点评：
本题考点： 矩形的性质．

考点点评： 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质，求出∠ACB=30°，然后判断出等边三角是解本题的关键．

CE=CF=GB．
理由如下：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠ACD=∠ABC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵∠CEF=∠BAE+∠ABC，∠CFE=∠CAE+∠ACD，
∴∠CEF=∠CFE．
∴CE=CF（等角对等边）．
（2）如图，过E作EH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC，
∴EH=EC（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∴EH=CF．
∵FG∥AB，
∴∠CGF=∠EBH．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴∠CFG=∠EHB=90°．
在Rt△CFG和Rt△EHB中
∵

∠CGF=∠EBH
∠CFG=∠EHB
CF=EH，
∴Rt△CFG≌Rt△EHB（AAS）．
∴CG=EB．
∴CE=GB．
∴CE=CF=GB．

点评：
本题考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 此题主要考查学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用．正确作出辅助线是解答本题的关键．

（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠ABG=∠D=∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
又∵AG⊥AF，
∴∠GAB+∠BAF=90°，
∴∠GAB=∠DAF，
在△ABG和△ADF中，


∠ABG＝∠D＝90°
AB＝AD
∠GAB＝∠DAF，
∴△ABG≌△ADF（ASA），
∴AG=AF；
②∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵△ABG≌△ADF，
∴∠GAB=∠DAF，GB=DF，
∴∠GAE=∠DAE，
在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠GAE=∠BEA，
∴AG=GE，
∵AG=AF，
∴GE=AF，
∴AF=GB+BE，
∴AF=DF+BE；
（2）∵AD∥BC，
∴∠H=∠DAF，
∵AE=EH，
∴∠H=∠FAE，
∵∠BAE=∠FAE，
∴∠DAF=∠FAE=∠BAE=[1/3]×90°=30°，
在Rt△ADF中，tan∠DAF＝
DF
AD，
即tan30°=
DF
1＝

3
3，
∴DF=

3
3．

点评：
本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解答（2）中时求出∠DAF=∠FAE=∠BAE=[1/3]×90°=30°，是解题的关键．

在平行四边形ABCD中，则AB∥CD，
∴∠2=∠3，
又AE平分∠BAD，即∠1=∠3，
∴∠1=∠2，即DE=AD，
又AD=5cm，AB=8cm，
∴EC=CD-DE=8-5=3cm．
故EC的长为3cm．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质．

考点点评： 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握．