10^-2 -10^-6.5∠DAB=60°,AD=AA1

（1）证明：连接AC、BD交于点O，再连接MO，
∴OM∥
1
2A1A且OM＝
1
2A1A，
又∵AF＝
1
2A1A，
∴OM∥AF且OM=AF，
∴四边形MOAF是平行四边形，
∴MF∥OA，
又∵OA⊂面ABCD，MF⊄面ABCD，
∴MF∥面ABCD；
（2）证明：∵底面是菱形，
∴AC⊥BD
又∵B₁B⊥面ABCD，AC⊂面ABCD
∴AC⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥面BDD₁B₁
又∵MF∥AC，
∴MF⊥面BDD₁B₁．

点评：
本题考点： 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题考查空间想象能力，直线与平面平行的证明方法，判定定理的应用．

以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（1）因为

DA1=（1，0，1），

D1E=（1，x，-1）
∴

DA1•

D1E=1+0-1=0，所以D₁E⊥A₁D；
（2）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而

D1E=（1，1，-1），

AC=（-1，2，0），
设AC与D₁E所成的角为θ
则 cosθ＝
|

AC•

D1E|
|

AC||

D1E|＝
|−1+2+0|

5
3＝

15
15…（9分）
（3）设平面D₁EC的法向量为

n=（a，b，c），
∵

CE=（1，x-2，0），

D1C=（0，2，-1），

DD1=（0，0，1）
由



n•

D1C＝0




n•

CE＝0，有

2b−c＝0
a+b(x−2)＝0，
令b=1，从而c=2，a=2-x
∴

n=（2-x，1，2），…..（12分）
由题意，cos θ=


n•

AB
|

n|•|

AB|=
2
2
(x−2)2+5=

6
6
∴x=3（不合题意，舍去），或x=1．
∴当AE=1，即E为线段AB的中点时，平面D₁EC与平面AA₁D₁D所成二面角的平面角的余弦值为

6
6．

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线间的夹角、距离，用空间向量求平面间的夹角，其中建立适当的空间坐标系，求出各顶点的坐标及相关直线的方向向量及相关平面的法向量的坐标，将空间平行、垂直及夹角问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．

证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（2）证明：连BD，由直四...

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．

考点点评： 本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求两个平面所成的角，证明∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角，是解题的难点．