设a0＝1,a1＝2,an+1＝2an-1＋n,n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形

为了避免混淆,我把下角标写在 里
a＝2a＋n
a = 2a + n+1
两式相减
a - a = 2(a - a) + 1
a - a + 1 = 2*(a - a + 1)
设 b = a - a + 1,则
b = 2*b
b = a - a + 1 = 2 - 1 + 1 = 2
容易求出 a = 2a + 1 = 3
b = a - a + 1 = 3 -2 + 1 = 2
b = 2b = 4
b = 2b = 4
b = 2b = 8
b = 2b = 8
2 2 4 4 8 8 16 16 …… 这个数列的通项为
b = 2^k
b = 2^k
k = 1,2,3
b = a - a + 1
b = a - a + 1 = 2^k
b = a - a + 1 = 2^k
a - a = 2^k -1
a - a = 2^k -1
k = 1,2,3……
因此
a1 - a0 = 2^1 - 1
a2 - a1 = 2^1 - 1
a3 - a2 = 2^2 - 1
a4 - a3 = 2^2 - 1
a5 - a4 = 2^3 - 1
a6 - a5 = 2^3 - 1
……
a - a = 2^(k-1) -1
a - a = 2^(k-1) -1
a - a = 2^k -1
a - a = 2^k -1
把以上所有式子相加,左端可消去 a到 a,得到 ：
a - a = 2*[2^1 + 2^2 + …… + 2^k - k*1]
= 2*[2*(2^k -1) - k]
= 2^(k+2) - 2k -4
a = 2^(k+2) - 2k -3
因为
a - a = 2^k -1
a = a - (2^k -1) = 2^(k+2) - 2k -3 - 2^k + 1
= 3*2^k -2k -2
综上所述：
a0 = 1
a = 3*2^k -2k -2
a = 4*2^k - 2k -3
k = 1,2 ,3……
用 k+1 替换 a表达式中的k,上述通项公式可等效替换为
a = 4*2^k - 2k -3
a = 6*2^k -2k -4
k = 0,1,2 ,3……
附录 对结果进行检验：
1）实际值
a0 = 1
a1 = 2
a2 = 2a0 + 1 = 2*1 + 1 = 3
a3 = 2a1 + 2 = 2*2 + 2 = 6
a4 = 2a2 + 3 = 2*3 + 3 = 9
a5 = 2a3 + 4 = 2*6 + 4 = 16
a6 = 2a4 + 5 = 2*9 + 5 = 23
a7 = 2a5 + 6 = 2*16 + 6 = 38
a8 = 2a6 + 7 = 2*23 + 7 = 53
2) 计算值
a = 4*2^k - 2k -3
a = 6*2^k -2k -4
a0 = 4*2^0 - 2*0 - 3 = 1 = 实际值
a1 = 6*2^0 - 2*0 - 4 = 2 = 实际值
a2 = 4*2^1 - 2*1 - 3 = 3 = 实际值
a3 = 6*2^1 - 2*1 - 4 = 6 = 实际值
a4 = 4*2^2 - 2*2 - 3 = 9 = 实际值
a5 = 6*2^2 - 2*2 - 4 = 16 = 实际值
a6 = 4*2^3 - 2*3 - 3 = 23 = 实际值
a7 = 6*2^3 - 2*3 - 4 = 38 = 实际值
a8 = 4*2^4 - 2*4 - 3 = 53 = 实际值
通过前8项的检验足以证明所推出 通项公式的正确性了.
与一般通项公式不同.本通项公式分为 奇数和偶数 2个.但这恰好尊重了事实.a＝2a＋n 这个已知条件也在告诉我们,此数列 奇数项和偶数项 有着不同的 通项公式.

an+1＝2an-1＋n，。。。。。。，a3=2a1+2，a2=2a0+1.各式相加，有Sn+1-a1=2Sn+2a0+（n+1）*n/2，又Sn+1-Sn=an+1