正三棱柱有内切球,则此正三棱柱与它的内切球的体积之比为多少?

由题意，∵正三棱柱的底面正三角形边长为2，∴正三棱柱的底面面积为
3
∵侧棱长为3，∴V＝3
3
故答案为：3
3

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查的知识点是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，其中根据已知求出已知三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．

由题意，∵正三棱柱的底面正三角形边长为2，∴正三棱柱的底面面积为
3
∵侧棱长为3，∴V＝3
3
故答案为：3
3

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查的知识点是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，其中根据已知求出已知三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．

将正三棱柱ABC-A₁B₁C₁沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，

在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d=
122+52=13
故答案为：13．

点评：
本题考点： 多面体和旋转体表面上的最短距离问题．

考点点评： 本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．

（1）设内接正三棱柱的高为 x，底面的边长为 a，
由直角三角形相似得 [15−x/15]=

2
3×

3
2a

2
3×

3
2×12，
∴a=[60−4x/5]，内接正三棱柱的侧面积为：120=3a•x=3[60−4x/5] x，
x²-15x+50=0，∴x=10 或 x=5．
∴正三棱柱的高为10cm或5cm．
（2）两个棱锥的侧面积之比等于对应的相似比的平方，相似比为 [15 −x/15]，
当x=10 时，相似比为[1/3]，故两个棱锥的侧面积之比等于[1/9]，
当x=5时，相似比为[2/3]，故两个棱锥的侧面积之比等于[4/9]，
故棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比为：1：9或4：9．

点评：
本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

考点点评： 本题考查棱柱、棱锥的侧面积的求法，面积比与相似比的关系．

（Ⅰ）证明：连结A₁B，交AB₁与O，连结OD，
∵O，D均为中点，
∴A₁C∥OD，
∵A₁C⊄平面AB₁D，OD⊂平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）∵A₁C∥OD，
∴∠ODB₁为异面直线A₁C与BD所成角，
令正三棱柱的棱长为1，则DB₁=[5/2]，OB₁=

2
2，OD=[1/2]AC=

2
2，
在△ODB₁中，cos∠ODB₁=
O
B21+D
B21−OD2
2OB1•DB1=

10
4，
∴异面直线A₁C与B₁D所成焦的余弦值为

10
4．
（Ⅲ）证明：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
∴四边形BCC₁B₁是正方形，
∵M为CC₁的中点，D是BC的中点，
∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB，
∵∠BB₁D+∠BDB₁=[π/2]
∴∠CBM+∠BDB₁=[π/2]，
∴BM⊥B₁D，
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵BM⊂平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM，
∵AD∩B₁D，
∴BM⊥平面AB₁D，
∵AB₁⊂平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题主要考查了线面平行，线面垂直的性质和判定定理．立体几何在求二面角的时候，常转化为平面几何的问题易于解决．