线性代数1假设η1,η2,...,ηt是齐次线性方程组Ax=θ的一组线性无关的解向量,ξ不是Ax=θ的解.证明ξ,ξ+η

假设ξ,ξ+η1,ξ+η2,...,ξ+ηt线性相关,则存在一组不全为零的数k0,k1,k2,...,kt使
0=k0ξ+k1(ξ+η1)+k2(ξ+η2)+...+kt(ξ+ηt)
=(k0+k1+k2+...+kt)ξ+k1*η1+k2*η2+...+kt*ηt
等式两边乘A得
0=(k0+k1+k2+...+kt)Aξ+k1*Aη1+k2*Aη2+...+kt*Aηt
=(k0+k1+k2+...+kt)Aξ
因Aξ≠0,从而k0+k1+k2+...+kt＝0
由0=(k0+k1+k2+...+kt)ξ+k1*η1+k2*η2+...+kt*ηt
＝k1*η1+k2*η2+...+kt*ηt
得k1=k2=...=kt=0,k0=0,这与k0,k1,k2,...,kt不全为零矛盾
故ξ,ξ+η1,ξ+η2,...,ξ+ηt线性无关

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