容斥原理的公式（1） A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C这个公式里的A∪B∪C迷糊.

首先,第一题有25人做对,且已知有10个人是两题全对,那么25个人可分为10人两题全对和15人第一题对第二题错.
其次,第二题错的总共18人,除去刚才分析的15人,班上另有3人做错第二题.而这3个人显然也没做对第一题.
得出结论：两题全错的有3人.

1-200的整数中,能被2整除的有200/2=100（个）
能被3整除的有200/3=66……2,有66个
能被6整除的有200/6=33……2,有33个
因此既不能被2整除,又不能被3整除的数有
200-100-66+33=67（个）.

要分情况:
1——如果发奖最多的那一项A小于等于其他两项B和C之和，则答案=（A+B+C)/2，若上式结果是小数，答案要多加0.5凑整；
2——如果发奖最多的那一项A大于其他两项B和C之和，则答案=A
本题A=11，B=10，C=9，属于情况1，且结果能整除

首先你把四个式子全加起来可得3A+3B+3C+3D=72,
即A+B+C+D=24,用这个式子减一式得D=9
同理可得C=8 ,B=5 ,A=2

其实这个不难,你不要给他交来交去弄晕了.对于集合的问题,一向有一种很好的方法叫“画图”,你可以试试看.用几种不同的笔,把它每一次加减的情况演示出来,你就会自己明白了,不需要解释.
大体是这样的,第一次的把ABCD的相加,因为会有重复的范围,所以需要减掉.但是又因为这些重复的范围里还有重复的范围,就是某些范围被减掉了两次,所以要加上他们,就出现了三个集合的相加,又因为在这些三个集合的相加过程中对四个重合的部分多计算了一次,所以要减掉.
这个只是简单的解释,你其实自己画画图动动手得到的结论会更直观,或者把所有的card()都变成实际的数字,用数字来证明,会更有分量!

因为 58+68-100=26
所以 至少有26道题乙和丙都做了
78+26-100=4
综合算式：78+68+58-2*100=4
3人都做过的题目至少有4 道.

89+47+63+20-125=94人···只看过其中两部电影的人数

25人

A表示乘地铁的人的集合
B表示乘公交的
C表示骑自行车的
不使用者三种工具的即为(A补)∩(B补)∩(C补)
根据题意有
|A|=510,|B|=330,|C|=120,|A∩B|=270,|A∩B∩C|=58,|A∪B∪C|=960
|(A补)∩(B补)∩(C补)|=|A∪B∪C|-|A|-|B|-|C|+|A∩B|+|B∩C|+|A∩C|-|A∩B∩C|
思路过程就这样,但你问题中有两个值|B∩C|和|A∩C|不知道.

为了易于表达,"并"写作"+","交"不写.即:
已知:P[A+B]=P[A]+P[B]-P[AB].欲证:P[A+B+C]=P[A]+P[B]+P[C]-P[AB]-P[AC]-P[BC]+P[ABC]
证明:P[A+B+C] = P[(A+B)+C]=P[(A+B)]+P[C]-P[(A+B)C]
= P[A+B]+P[C]-P[AC+BC]
= P[A]+P[B]-P[AB]+P[C]-{P[AC]+P[BC]-P[ABC]}
= P[A]+P[B]-P[AB]+P[C]-P[AC]-P[BC]+P[ABC]
= P[A]+P[B]+P[C]-P[AB]-P[AC]-P[BC]+P[ABC]
证毕!

这道题 通过画图 找交集 比较容易算出来.
其中只会一种语言的有5人.一种都不会的有2人.
所以多3人、

参加了语文,且有参加其他考试的人有：52-16=36
参加了英语,且有参加其他考试的人有61-15=46
参加了数学,且有参加其他考试的人有63-21=42
至少参加了两门的人有110-16-15-21=58
36+46+42-2x58=8
三组都参加的有8人
36+46+42是（同时参加了语文和英语的人数）x2+（同时参加了语文和数学的人数）x2+（同时参加了英语和数学的人数）x2+（同时参加了语文数学英语的人数）x3,58则为（同时参加了语文和英语的人数）+（同时参加了语文和数学的人数）+（同时参加了英语和数学的人数）+（同时参加了语文数学英语的人数）
只要画一下圆就知道了

计算不合格数式子7+9+6中,将两项同时不合格的算了两次,所以要-5,而将三项同时不合格的算进去了三次,所以要减两个2.

这两种题目是不同的
第一题同时两项不合格不包括三种都不合格的情况
第二题两项活动都参加,不排除三项都参加的人
第一题可以这样理只有两项不合格的单项不合格之和多算了一次,减一次,三项都不合格的算了三次,应减两次
第二题可以这样理参加单项运动之和,包含了参加两项运动的两次,减一次,参加单项运动之和包含三项都参加的三次,参加两项运动之和包含三项都参加的三次,参加单项运动之和减去参加两项运动之和,此时三项都参加的没被包含在内,故应加一次

打篮球的人最多，可以把那两个都含了。22这个条件没用。
60*（1-4/5）＝12人

参加数学有29人,参加语文有21人,参加美术有25人,总和为75人；
为什么会比50人多呢?因为有一些人参加了很多项,所以要减去17,15,10人,得到43人；
为什么又比50人少了呢?那是因为参加了3项的人在前三次都加上了,算了3次,在后三次都减掉了,因此参加了三项的人并没有算,再用50-43=7人就是参加了三项的人数了；
望采纳!谢谢!

首先说明一点,数学归纳法原理是自然数的公理之一.
所以关于自然数的命题基本上都有数学归纳法背景.
常用的"依此类推","..."这样的写法本质上也是数学归纳法的简略形式.
要在"形式上"不用数学归纳法证明容斥原理,可以用二项式定理.
设A[1],A[2],...,A[n]是n个集合,用|S|表示集合S的元素个数,C(m,k)表示m中选k的组合数.
证明容斥原理:|A[1]∪A[2]∪...∪A[n]| = ∑{1 ≤ i ≤ n} |A[i]|-∑{1 ≤ i < j ≤ n} |A[i]∩A[j]|
+∑{1 ≤ i < j < k ≤ n} |A[i]∩A[j]∩A[k]|-...+(-1)^(n-1)·|A[1]∩A[2]∩...∩A[n]|.
对任意x ∈ A[1]∪A[2]∪...∪A[n],设A[1],A[2],...,A[n]中恰有m个集合包含x.
A[i]∩A[j]包含x当且仅当A[i]与A[j]都包含x.
因此在A[1],A[2],...,A[n]的两两之交中恰有C(m,2)个交集包含x.
在三三之交中恰有C(m,3)个集合包含x,依此类推.
可知在右端的和式中,x被计数的次数为C(m,1)-C(m,2)+C(m,3)-...+(-1)^(m-1).
而由二项式定理,有0 = (1-1)^m = 1-C(m,1)+C(m,2)-C(m,3)+...+(-1)^m.
即C(m,1)-C(m,2)+C(m,3)-...+(-1)^(m-1) = 1.
A[1]∪A[2]∪...∪A[n]中的任意元素,在右端和式中恰好被计数1次.
即证明了容斥原理.

120-75=45（名）——只参加数学竞赛的男生
80-75=5（名） ——只参加语文竞赛的男生
45+5+75=125（名）——全部参赛的男生数
260-125=135（名）——全部参赛的女生数
135-120=15（名）——只参加数学竞赛的女生

多加了就得减

第一题没作对的10人,刨去2人,是8人,第二题没做对的是15人,刨去2人是13人
也就是说45人里有2人全错剩下的43人里有8个人错第一题,13个人错第二题,8+13=21,所以做对一道的有21人,43-21=22,22人都做对了.
答案（一）21（二） 22

能被3整除的共333个
能被5整除的共200个
除去交集,能被3和5整除的,也就是能被15整除的66个
共333+200-66=467个
不能被3或5整除的数只需用1000减去能被3或5整除的数即可,共533个
学数学愉快

1只能放到2.3.4里的任意一个,是3种 如果1放到2里面了,则2只能放到1.3.4里的任意一个,是3种,剩下的只能是1种了 所以是3*3*1=9

这两者是不矛盾的、
因为A∩B、B∩C、A∩C都包括了重合3次的,相当于“重合三次”的部分被减了3次,但是本来只应该减两次,所以还要加一次

|
A1∪A2∪A3∪A4|=|A1|+|A2|+|A3|+|A4|
-|A1∪A2|-|A1∪A3|-|A1∪A4|-|A2∪A3|-|A2∪A4|-|A3∪A4|
+|A1∪A2∪A3|+|A1∪A2∪A4|+|A1∪A3∪A4|+|A2∪A3∪A4|-|A1∪A2∪A3∪A4|
n个集合的容斥原理
|A1∪A2∪A3∪…∪An|
=∑|Ai1|-∑|Ai1∪Ai2|+…+（-1)^(k+1)∑|Ai1∪Ai2∪…∪Aik|
+…+（-1)^(n+1)∑|A1∪A2∪…∪An|
其中1≤i1＜i2＜…i(k-1)＜ik≤n

式中的card表示元素个数容斥原理的核心思想就是:重了减,漏了补举个例子A=昨天看了某电影的人B=今天看了该电影的人则有A∪B=这两天内看过该电影的人A∩B=这两天都看了该电影的人于是“两天内看过该电影的人数”=“昨天看的人数”+“今天看的人数”-“两天都看的人数”因为两天都看的人被数了两次,所以要减去一次以保证结果不重不漏

人次问题,且这里必须有一个隐含条件,即每人最少喜欢一科,且仅限于此三科范围内,当然这是题目出的严谨与否的问题,不需要过分深究.
总人次为
58＋38＋52＝148
又三科喜欢的12人,故
148－24＝124,即仅喜欢两科（意思即不止喜欢一科但又不喜欢三科）的人数是24人,又根据3取2的组合为3（这个当然就属于需要具备的基本知识,要能够马上反应）因此知道只喜欢语、外的有：
24－6－4＝14人
因此单喜欢语文的就是
58－12－6－14＝26人

A,B,C里都有A∩B∩C,A∩B∩C加了三次
A∩B,B∩C,C∩A也都有A∩B∩C,A∩B∩C又被减去了三次
所以最后还要再不上一个A∩B∩C

你好，
两样都得90分以上的有 25+21-38=8(人)

最多10人.20+20-30=10,说明最少有10人两门都完成了,所以最多是10人只完成数学

原题只有15道题,甲错了5道,乙错了6道,甲乙都错的是3道,则甲单独错了2道,乙单独错了3道,甲乙共同做对的就是(原题数-甲单独错的-乙单独错的-甲乙都错的)式子为15-3-2-3=7

100除以2等于50,说明在1到100个自然数中有50个是2的倍数,100除以3等于33余1.说明在1到100个自然数中有33个是3的倍数,100除以5等于20,说明在1到100个自然数中有20个是5的倍数.
（1）2、3、5的最小公倍数是30,100除以30等于3余10,答案是3个
（4）2、3的最小公倍数是6,100除以6等于16余4,1到100的自然数中既能被3整除又能被2整除的数有16个,同理,既能被2整除又能5整除的数有10个,既能被3整除又能被5整除的数有6个.100-74=26（个）——不能被2、3、5中任何一个数整除的数有26个.
（2）27+14+7=48（个）
（3）13+7+3=23（个）
不知道对不对啊.这个我画图做的,可图不会传上来啊

(1)体育特长＋文艺特长＋计算机特长：75＋78＋65=218（人）218＞100.为什么会比100要多？因为218人里面有些人是算重复了。218-100=118（人）但还是多于100，所以118-199=18（人）

总人数=英＋日＋法－英日－英法－法日＋英法日
所以有　
英＝只会英＋英日＋英法－英日法
　＝8+5+4-2
＝15
日＝只会日＋法日＋英日－英日法
　＝6+3+5-2
=12
法＝总人数－（英＋日－英日－英法－法日＋英法日）
　　　　　=27-(15+12-5-3-4+2)
=27-17
=10
只会法＝法－（法日＋英法－英日法）
　＝10-(3+4-2)
＝10-5
＝5

你的出题与你自己的解答有对盾.仔细看看就好了,应当可以得到正确解答的.

你在套用公式的时候：8+10+9-7+1=21.式子的7,并不等于A∩B + B∩C + C∩A.既然你理解画图法,你可以用画图法辅助你理解.画图可以明显发现,A∩B + B∩C + C∩A,是有重叠的部分的；而题中的“同时两项不合格的产品有7项”,已经帮你把重叠的部分去掉的.
套用公式,记住,如果你还不能熟练变通的话,就一定要严格套用.意思就是说,只在题目中A∩B 、 B∩C 、 C∩A全部出现的时候,你用这个公式,那就不会出错了.

不好意思,离散数学我还没学,但这个题目可以用高中里的排列组合做.
1.如果八个球是同一种颜色,就有3种方案；
2.如果八个球由两种颜色,就有A32X4+C32=15种方案；
3.如果八个球由三种颜色,就有A33X2+3XC31=21种方案.
总共就是39种方案,希望在学了离散数学后可以给你一个更好的解释.

容斥原理
在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理.
容斥原理（1）
如果被计数的事物有a、b两类,那么,a类或b类元素个数= a类元素个数+
b类元素个数—既是a类又是b类的元素个数.
例1
一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
分析：依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“a类元素”,“语文得满分”称为“b类元素”,“语、数都是满分”称为“既是a类又是b类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“a类或b类元素个数”的总和.
试一试：某班学生每人家里至少有空调和电脑两种电器中的一种,已知家中有空调的有41人,有电脑的有34人,二者都有的有27人,这个班有学生多少人?（并说一说你的想法.）
容斥原理（2）
如果被计数的事物有a、b、c三类,那么,a类或b类或c类元素个数= a类元素个数+
b类元素个数+c类元素个数—既是a类又是b类的元素个数—既是a类又是c类的元素个数—既是b类又是c类的元素个数+既是a类又是b类而且是c类的元素个数.
例2某校六（1）班有学生54人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人,问：三项都参加的有多少人?
分析：仿照例1的分析,你能先说一说吗?
例3 在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?不能被3或5整除的数共有多少个?
分析：显然,这是一个重复计数问题（当然,如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数,5的倍数）.我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成a类元素和b类元素,能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数,即“既是a类又是b类的元素”.求的是“a类或b类元素个数”.现在我们还不能直接计算,必须先求出所需条件.1000÷3=333……1,能被3整除的数有333个（想一想,这是为什么?）同理,可以求出其他的条件.
例4 分母是1001的最简分数一共有多少个?
分析：这一题实际上就是找分子中不能整除1001的数.由于1001=7×11×13,所以就是找不能被7,11,13整除的数.
例5
某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一项达到了优秀,达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短跑游泳投掷短跑、游泳短跑、投掷游泳、投掷短路、游泳、投掷
1718156652
求这个班的学生共有多少人?
分析：这个班的学生数,应包括达到优秀和没有达到优秀的.
试一试：一个班有42人,参加合唱队的有30人,参加美术组的有25人,有5人什么都没有参加,求两种都参加的有多少人?
例6
在一根长的木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析：很显然,要计算木棍被锯成多少段,只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线,在此基础上加1就是段数了.
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开,木棍有9条刻度线.在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线,显然刻度线有重复的,如5/10和6/12都是1/2.同样再加上将木棍分成15等份的刻度线,也是如此.所以,我们应该按容斥原理的方法来解决此问题.用容斥原理的那一个呢?想一想,被计数的事物有那几类?每一类的元素个数是多少?
德摩根定律-表达形式 形式逻辑中此定律表达形式：
neg(Pwedge Q)=(neg P)vee(neg Q)
neg(Pvee Q)=(neg P)wedge(neg Q)
在集合论中：
(Acap B)^C=A^Ccup B^C
(Acup B)^C=A^Ccap B^C.
在经典命题逻辑的外延中,此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符,我们都能找他它的对偶),由于存在于调节否定关系的恒等式中,人们总会引入作为一个算符的德·摩根对偶的另一个算符.这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质,即否定范式的存在性：任何公式等价于另外一个公式,其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时.否定常型的存在推进了许多应用,例如在数字电路设计中该性质用于操纵逻辑门,以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件；电脑程序员们则用它们将一个类似于IF ... AND (... OR ...) THEN ... 这样的复杂语句转变为其对等形式；它们也同样经常用于初等概率论中的计算.
我们将基于基本命题p, q的任意命题算符P(p, q, ...)的对偶定义为：
neg mbox^d(neg p, neg q, ...).
该概念可以推广到逻辑量词上,例如全称量词和存在量词互为对偶：
forall x , P(x) equiv neg exists x , neg P(x),
“对所有x,P(x)皆成立”等价于“不存在x,使P(x)不成立”；
exists x , P(x) equiv neg forall x , neg P(x).
“存在x,使P(x)成立”等价于“并非对所有x,P(x)都不成立”.
为对德·摩根定律叙述这些量词的二元性,设置一个在其域D中具有少量元素的模型,例如
D = {a, b, c}.
则
forall x , P(x) equiv P(a) wedge P(b) wedge P(c)
“对所有x,P(x)成立”等价于“P(a)成立”且“P(b)成立”且“P(c)成立”
以及
exists x , P(x) equiv P(a) vee P(b) vee P(c).
“存在x,使P(x)成立”等价于“P(a)成立”或“P(b)成立”或“P(c)成立”
但,应用德·摩根定律,
P(a) wedge P(b) wedge P(c) equiv neg (neg P(a) vee neg P(b) vee neg P(c))
“‘P(a)成立’且‘P(b)成立’且‘P(c)成立’”等价于“非(‘P(a)不成立’或‘P(b)不成立’或‘P(c)不成立’)”
以及
P(a) vee P(b) vee P(c) equiv neg (neg P(a) wedge neg P(b) wedge neg P(c)),
“‘P(a)成立’或‘P(b)成立’或‘P(c)成立’”等价于“非(‘P(a)不成立’且‘P(b)不成立’且‘P(c)不成立’)”
检验模型中量词的二元性.
从而,量词的二元性可进一步延伸到模态逻辑中的方块和菱形算符：
Box p equiv neg Diamond neg p,
Diamond p equiv neg Box neg p.
在其用于可能性和必然性的真势模态的应用中,亚里士多德注意到该情况,以及在正规模态逻辑的情况中,这些模态算符对量化的关系可借助按关系语义设置模型来理解.

如果我们把三个集合圈看成三张纸片,参加两个组的部分是2层,参加三个组的部分是3层,要求至少参加一个组的人数,就是求三张纸片盖住桌面的大小,因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数
11 + 8 + 12—5—3—4 + 1 = 20（人）
答：至少参加一个组的有20人.

∵BC⊥AD,FG‖BC
∴FG⊥AD
∴∠AFG＝90°
过点E作EH⊥BC于H
则AE＝HE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
又AE＝AF,∴EH＝AF
∵FG‖BC,∴∠B＝∠4
在Rt△AFG和Rt△EHB中
角4=角B
角AFG=角EHB
AF=EH
RT三角形AFG全等RT三角形EHB （AAS）
∴AG＝EB（全等三角形对应边相等）
又AE＝3,AB＝7
∴EB＝4
∴AG＝4
EG=AG-AE=4-3=1
即EG＝1
我也不知道对不对
希望能解决您的问题.