若n阶矩阵A与B相似,证明它们的特征矩阵相似

因为 A^2 = -2A
所以 A^2+2A = 0
所以 A 的特征值只能为 0 和 -2.
而B与A相似,所以B的特征值为0,-2,且 r(B)=r
所以 B 的特征值为 n-r 个0,r个-2 [ A,B可对角化?]
所以 B+E 的特征值为 n-r 个1,r个-1
所以 |B+E| = (-1)^r
tr(B) = n-r -r = n-2

他说的是特征多项式相等!
没有说矩阵相等!
你可以看看特征多项式的定义：
一个方阵X的特征多项式f(λ)就是|X-λE|.
那么命题是完全正确的!
您可能有些概念混淆了.
首先行列式就是行列式,您在这里说的“行列式的展开”可能是种误解.
（不过倒是有：行列式按一行或一列展开：这是行列式递推计算式）
举个例子吧：
有一个3阶方阵：
a,b,c
A=[ x,y,z ]
l,m,n
那么它的行列式为：
a,b,c
|A|=| x,y,z |=a*y*n+b*z*l+x*m*c-c*y*l-z*m*a-x*b*n
l,m,n
您是不是以为上式的左式叫行列式,上式的右式叫行列式的展开?
其实它们是一个东西,只是写得不一样.
如果您把行列式与行列式的展开理解成了是两个东西,比如：
“行列式”像一个左右带着竖线的矩阵.
“行列式的展开”是一个多项式；
那么其实：那左右的竖线即为一个法则,矩阵即为原象,多项式即为象.
就好比：
现在已经证明了
f(x1)=f(x2)
可是您说这并不能证明f(x1)与f(x2)的展开相等.
这问法似乎诡谲.

题目错了,应该是0或1.
设Ax=λx,x是非零向量,则0=(A^2-A)x=(λ^2-λ)x,于是λ^2-λ=0,从而λ=0或1.
我看到你连续问了好几道基本的问题,建议你好好看看书,这些已经是最简单的问题了,不会做的话考试很危险.

1是定义,肯定是充要,2是充分不必要条件

因矩阵A与B相似,则存在满秩矩阵Q,使
A=Q^(-1)BQ→QA=BQ
设QA=BQ＝R→A＝Q^(-1)R,B＝RQ^(-1)
把Q^(-1)看成Q即可

他的逆矩阵一定是下三角分块矩阵.在考虑对角线上子块,故其结构应为：
A^(-1) 0
X B^(-1)
再用它和原矩阵乘在一起,等于E,考虑第二行第一列的元素,即有
CA^(-1)+BX=0
故X=-B^(-1)CA^(-1)
故其逆矩阵为
A^(-1) 0
B^(-1)CA^(-1) B^(-1)
考虑他的伴随矩阵,就能发现他一定是系三角分块.
最好是追问.

A和B等价就是说A和B的秩相等
但|A|和|B|的关系不一定.

这两个矩阵相似同一个对角矩阵由相似传递性得AB
相似

这是由于矩阵特殊的计算方式导致的,矩阵的计算是一行与一列分别相乘再相加,所以当AB=AC时不能按数的计算约去A,姑不能推出

好麻烦 我来答一个吧
因为A有n个相异特征值,所以A可对角化
即存在可逆矩阵P,P^-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)
由AB=BA得 (P^-1AP)(P^-1BP)=(P^-1BP)(P^-1AP)
所以有 diag(λ1,λ2,...,λn)(P^-1BP)=(P^-1BP)diag(λ1,λ2,...,λn)
由于λ1,λ2,...,λn两两不等
所以 P^-1BP 是对角矩阵
所以A的特征向量都是B的特征向量

n阶矩阵A与B相似
即有非奇异矩阵P,使得
P^(-1)AP=B
两边取行列式：
|P^(-1)AP|=|B|
即
|P^(-1)|*|A|*|P|=|B|
而
|P^(-1)|*|A|*|P|=|P^(-1)|*|P|*|A|=|A|
所以:|A|=|B|

相似矩阵有相同的特征值.所以A的特征值即B的特征值.
又 对角阵和上三角阵(或下三角阵)的特征值为对角元素.
所以A的特征值为B的对角元素Bii