非齐次微分方程特解怎么设,尤其是有共轭复根时,如y''＋y＝sinx的特解设法为

你要特解,其实特解和你的通解是有关系的,我就把一般算法给你总结出来了,是我自己的复习笔记,
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步：求特征根：
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,（这里可以是复数,例如(βi)²=-β²）
第二步：
若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步：
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,（注：P（x）是关于x的多项式,且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式,例如P（x）是x²+2x,则设Q（x）为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)（注：AB都是待定系数）
第四步：解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数.
最后结果就是y=通解+特解
通解的系数C1,C2是任意常数
有问题可以再问我,拿例子的话好说明问题.

解题思路：先求出对应齐次方程的通解，然后求出非齐次微分方程的一个特解，最后利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构写出通解．

对应齐次方程的特征方程为 λ²-4λ+3=0，
求解可得，其特征根为 λ₁=1，λ₂=3，
则对应齐次方程的通解为 y1=C₁e^x+C₂e^3x．
因为非齐次项为 f（x）=e^2x，且 2 不是特征方程的根，
故设原方程的特解为 y*=Ae^2x，
代入原方程可得 A=-2，
所以原方程的特解为 y*=-2e^2x．
故原方程的通解为 y=y₁+y*=C₁e^x+C₂e^3x -2e^2x，其中C₁，C₂为任意常数．

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解；微分方程的解的结构．

考点点评： 本题考察了利用微分方程解的结构求解二阶常系数非齐次微分方程通解的方法，是一个基础题型，需要熟练掌握．

特征方程：t^2-3t+2=0,t=1,2
所以通解y[1]=C1e^x+C2e^(2x)
设特解y[2]=Axe^(-x)+Be^(-x)
则y'[2]=Ae^(-x)-Axe^(-x)-Be^(-x)
y''[2]=-Ae^(-x)-Ae^(-x)+Axe^(-x)+Be^(-x)=-2Ae^(-x)+Axe^(-x)+Be^(-x)
所以-2Ae^(-x)+Axe^(-x)+Be^(-x)-3Ae^(-x)+3Axe^(-x)+3Be^(-x)+2Axe^(-x)+2Be^(-x)=xe^(-x)
A=1/6,B=5/36
所以通解为y=y[1]+y[2]=C1e^x+C2e^(2x)+1/6xe^(-x)+5/36e^(-x)

特征方程 r^2 + r - 2 = 0 特征根 r1 = 1, r2 = -2
y"+y'-2y=0 的通解y= C1 e^x + C2 e^(-2x)
原方程特解设为 y* = x ( Ax+B) e^x
y* ' = . y * '' = .
代入原方程, 确定 A=1 B=-4/3
原方程通解为 y = C1 e^x + C2 e^(-2x) + (x²-4x/3) e^x

e^[-∫(-1/x)dx]=e^[∫1/xdx]=e^lnx=x
e^[∫(-1/x)dx]=e^-lnx=1/x
所以∫[(1/lnx)e^∫(-1/x)dx]dx=∫[(1/lnx)*1/x]dx=∫1/lnxd(lnx)=ln(lnx)

令y' = v,y'' = v'
y'' - 1/x · y' = xe^x
v' - v/x = xe^x,e^∫ - 1/x dx = e^- ln|x| = 1/x
v'/x - v/x² = e^x
(v/x)' = e^x
v/x = ∫ e^x dx = e^x + C
y' = xe^x + Cx
y = ∫ xe^x dx + C∫ x dx = xe^x - ∫ e^x dx + Cx²/2 = xe^x - e^x + Cx²/2 + D
y = (x - 1)e^x + Ex² + D
C,D,E均为任意常数,E = C/2

λ对应的就是特征方程根的实数部分,不用看虚数部分的数字,比如这里是1+（-）2i,实数部分就是1,和λ相同,说明是单根

设y*是n阶常系数非齐次微分方程的一个特解,y1,y2,...,yn是对应的齐次方程的n个线性无关的特解,则.齐次方程的通解为Y=C1y1+C2y2+...+Cnyn.
对于非齐次微分方程的任意一个解y,则y-y*是对应的齐次方程的一个解,于是存在不全为零的n个数,C1,C2,...,Cn,使得y-y*=C1y1+C2y2+...+Cnyn.
于是y=y*+C1y1+C2y2+...+Cnyn.

晕菜,这就是验根呀.
就象解一元一次方程
3x=6,解得x=2
把x=2代入方程,两边不相等吗?
如果不相等就是解错了.

由于（3x+1）可认为是（3x+1乘e的0次方）,0不是特征方程的根,所以根据二阶常系数非齐次线性方程的解的结构特点,也为了将特解代入时能将变量消去使左右等价,应设成与（3x+1）等次的任意多项式,所以应是一次多项式y＝b1x＋b2

　　e^x*cos(x)对应的特征根是x^2-x+1/2=0的根.　　这个是因为有欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).当然你设解为y*=Ae^(x(1+i))+Be^(x(1-i))可以按照齐次方程的特解设的方法来理解.因为那个欧拉公式,就可以将解设为 y*...

线性与否看次数：方程中函数与导函数的次数为1的微分方程,叫做线性微分方程；
齐次与否,看比例,函数f(x,y)若符合f(ax,ay)≡f(x,y),则为齐次方程,否则不是.
按照上述定义,这两个概念是互相独立的.即齐次方程可以是线性的,也可以是非线性的.比如
y'+y=0是齐次的（容易验证对于不为零的a：(ay)'+(ay)=0与原方程等价）也是线性的；
而y'^2=0是齐次的,但线性.

特解不止一个,任何一个满足条件的解都是特解.
你的结果和陈文灯书上的结果应该都对,对本题若p(x)是一个解,则p(x)+c显然也是一个解,因为c'''-2c''-3c'=0.
这种寻找其他解决途径的精神是值得鼓励的,但是还是要把基本概念搞清楚啊,祝你考试顺利!

1、对应的齐次线性方程的特征方程是r^2-3r+2=0,根是1.2.所以齐次线性方程的通解是y=C1*e^x+C2*e^(2x).
因为λ=0不是特征方程的根,所以非齐次线性方程的特解可设为y*=A,代入得A=1.所以y*=1.
所以非齐次线性方程的通解是y=1+C1*e^x+C2*e^(2x).
2、对应的齐次线性方程的特征方程是r^2-6r+8=0,根是2,4.
由叠加原理,非齐次线性方程y''-6y'+8y=e^x与y''-6y'+8y=e^(2x)的特解之和是原非齐次线性方程的特解.
因为λ=1不是特征方程的根,所以y''-6y'+8y=e^x的特解为Ae^x.因为λ=2是特征方程的单根,所以y''-6y'+8y=e^(2x)的特解为Bxe^(2x).
所以原方程的一个特解为Ae^x+Bxe^(2x),其中A,B是任意实数.

dsolve('D2x+0.5*Dx+9*x=2*sint','t')

ans =

exp(-1/4*t)*sin(1/4*143^(1/2)*t)*C2+exp(-1/4*t)*cos(1/4*143^(1/2)*t)*C1+2/9*sint
少了个t

通解是
y(x)=c1e^(-x)+c2e^(2x)-1/2xe^x-1/4e^x-1/10xsinx+11/50sinx-3/10xcosx-1/25cosx

设 t=ax+b
t^2=a^2+b^2+2abx
t'=a
t'-2t^2+x
=a-2a^2x^2-2b^2-4abx+x=0
2a^2x^2+(4ab-1)x+(2b^2-a)=0
x=[-(4ab-1)+-sqrt((4ab-1)^2-8(2b^2-a)a^2)]/(4a^2)
(4ab-1)^2-8(2b^2-a)a^2)>0
8a^3-8ab+1>0

重根就是说 p²-4q=0,q=p²/4
所以 成了 λ²+pλ+q =λ²+pλ+p²/4 = (λ+p/2)²=0
得2λ+p=0
初中知识

是二阶的微分方程吗?
应该先求出他的齐次方程的解
y齐=C1(y2(x)-y1(x))+C2(y3(x)-y2(x))
所以原方程的通解为
y=y1(x)+y齐=C1(y2(x)-y1(x))+C2(y3(x)-y2(x))+y1(x)