立体几何直四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是平行四边形,∠DAB=45°,AA'=AB=2,AD=2倍根号

1．∵直四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是平行四边形,∠DAB=45°,AA'=AB=2,AD=2倍根号下2,点E是C'D'的中点,点F在B'C'上且B'F=2FC'
2√2cosπ/4=2,2√2sinπ/4=2,∠ABD=π/2
过A作AG⊥AB
建立以A为原点,以AB方向为X轴,以AG方向为Y轴,以AA’为Z轴正方向的空间直角坐标系A-xyz
则点坐标：
A(0,0,0),B(2,0,0),C(4,2,0),D(2,2,0),A’(0,0,2),B’(2,0,2),C’(4,2,2),D’(2,2,2),E(3,2,2),
∵B’F=4√2/3,4√2/3cosπ/4=4√2/3sinπ/4=4/3,∴F(10/3,4/3,2)
向量AC‘=(4,2,2),向量EF=(1/3,-2/3,0),向量CE=(-1,0,2)
向量AC‘•向量EF =0,向量AC‘•向量CE=0,∴AC’⊥EF,AC’⊥CE
∴AC'⊥平面EFC
2．向量AE=(3,2,2),向量AF= F(10/3,4/3,2),
设向量n为平面AEF的一个法向量,向量AC'为平面EFC的一个法向量
向量n=向量AE×向量AF=(8/3,-2/3,-8/3)
向量AC‘•向量n =4
Cos=(向量AC‘•向量n)/(|向量AC‘|•|向量n|)
=4/(2√6×2√33/3)= √22/22
∴二面角A-EF-C的大小为arccos(√22/22)