设非负实数abc满足a+b+c=1,求证ab+bc+ac

天堂客2022-10-04 11:39:543条回答

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redspear 共回答了17个问题 | 采纳率82.4%: ab+bc+ac=1/4[1+9[(a+b+c)/3]^3]=3/16
a=b=c=1/3时
左边：ab+bc+ac=1/3
右边：1/4(1+9abc)=1/[4(1+1/3)]=3/16
1/3>3/16
不等式ab+bc+ac; 1年前

我啊-CY 共回答了12个问题 | 采纳率75%: 楼上的两个明显是把题读错了，虽然题本身也有点小毛病。应该要求证的是：

ab+bc+ca <= (1+9abc)/4

为此，我们证明等价的：

设a、b、c是非负实数，则

(a+b+c)(ab+bc+ca) <= [(a+b+c)^3 + 9abc]/4

特别地，当a+b+c=1时，就得到所求的不等式。...; 1年前

sinry009 共回答了8个问题 | 采纳率: 题有问题
a=0
b=c=.5; 1年前

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先找出关于m=3a+b-7c的一元表达式
解方程组
3a+2b+c=5.（1）
2a+b-3c=1.（2）
得
a-7c=-3.(3)
b+11c=7.(4)
由（1）-（4）得：
3a+b-10c=-2,即3a+b-7c=3c-2
所以：m=3a+b-7c=3c-2.(5)
第二步：求出c的取值范围
因a,b,c均为非负数,故
由（3）得：a=7c-3≥0
c≥3/7
由（4）得：b=7-11c≥0
c≤7/11
所以3/7≤c≤7/11≤7/11
第三步：讨论
①当c=7/11时,代入（5）m值最大,为-1/11
②当c=3/7时,代入（5）m值最小,为-5/7

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因为a+2b+3c=1,所以
ab/3+bc+ca/2=（ab/3+bc+ca/2）*（a+2b+3c）
=a2b/3+2ab2/3+abc+a2c/2+abc+3ac2/2+abc+2b2c+3bc2
=（a2b/3+3bc2）+（2ab2/3+3ac2/2）+（a2c/2+2b2c）+3abc
括号内用均值不等式,即得
（a2b/3+3bc2）+（2ab2/3+3ac2/2）+（a2c/2+2b2c）大于等于6abc
代回,得证

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