设有限群G恰好具有两个n阶子群H,K,并且G由H,K生成,证明H,K是G的正规子群

首先是7的倍数,其次非单位元的逆元不等于自己,说明没有二阶元,注意一点：
群中阶数大于2的元素个数必为偶数个.
因此群G的阶数必为奇数,只能是35

对于任意g属于G,考虑群N=gHg^(-1)
现在证N是群,首先可以得到的是N中元素个数与N中的元素个数相等
任取a,b属于N,则存在x,y属于H,使得
a=gxg^(-1),b=gyg^(-1)
所以ab^(-1) = gxg^(-1)gy^(1)g^(-1) = gxy^(-1)g^(-1)
而xy^(-1)属于H
所以ab^(-1)属于N
所以N是群
所以N也是G的n阶子群
而G只有一个n阶子群
所以N=H
所以H是G的正规子群

设o﹙a﹚＞2 则o﹙a逆元﹚＝o﹙a﹚＞2 而a≠a逆元 ﹙否则o﹙a﹚≤2﹚
按﹙a.a逆元﹚分组,可以取完有限群里阶大于2的所有元素, 所以有限群里,阶大于2的元素个数一定是偶数.

要注意两个不同的概念:
一个群的阶(order)就是该群的基数(cardinality).对于有限群G来说,G的阶/基数|G|就是其所含所有元素的个数.
若g是有限群G的一个元素,n为最小自然数,且满足g^n=e,则称n为元素g的阶(order).一个由g生成的有限群的子群={e,g,g^2,...,g^(n-1)},其阶/基数等于该元素g的阶.






问:有限群G的基数是g,是不是对于任何的a属于G,都有a^g(a的g次方)=e(e为单位元)?

答:不是.
若循环群G=,即G完全由a生成,则该命题成立；其余情况下,则不成立.

Lagrange定理：群G的子群H的阶一定整除G的阶,且等于群G对子群H的指数.由此定理,从而推出,

对G中的任意元素a,假设a不是有限阶的,则对任意正整数n有a^n≠e,e是G的单位元.
由群的性质知：a,a^2,a^3.a^n.都是G的元素,这与G有限是矛盾的,所以每个元素都有有限阶.
G的阶数|G|指G中元素的个数,设a的阶为d,则a,a^2,a^3.a^d构成G的一个子群,全部都属于G,自然d要小于等于|G|.

1书上就有答案
2.t不完全如果t=（21435）
则对换为（1,3）（3,5）（5,2）

sl(n,P)={A}即域P上的n阶特殊线性群……书后的记号表应该有的.

这个结论不成立.
最简单的例子, 三元置换群S3的阶数为6 = 2·3,
2, 3均为素数, 但S3不是循环群, 连交换群都不是.
即便p, q都是奇素数也不成立, 例如有21阶非交换群.
如果将前提改为G是有限交换群, 且p ≠ q, 那么结论是成立的.
因为G作为交换群, 其阶数为pq, 其p阶子群(Sylow p-子群)存在唯一,
所以G中只有p-1个阶数为p的元素.
同理, G中只有q-1个阶数为p的元素, 再加上单位元共(p-1)+(q-1)+1 = p+q-1个.
剩下的pq-(p+q-1) = (p-1)(q-1) > 0个元素的阶数都是pq, 所以都是G的生成元.
因此G是循环群.

除了二阶元和单位元,每个元素都有与自身不相同的逆元,且逆元与自身同阶.

怎么感觉怪怪的,显然存在p=q使得a[p]=a[q]=e,等式成立.

至少任意质数阶有限群都是循环群.

1、我前面帖子已答,除了x与x^2成对出现,还要注意G中元素构成的循环群（去除相等的）两两不相交.
2、有点像四元数中i、j、k的运算,对集合G = {e,a,b,c},定义乘法
ea = a,eb = b,ec = c,
a^2 = b^2 = c^2 = e^2 = e,
ab = c,bc = a,ac = b,
乘法可交换.则易验证G是交接群,子群
{e,a}、{e,b}、{e,c}覆盖G.
3、Aut(Q) = {f(x) = q x | q 是非0的有理数}.
证：不难看出,若f是Q的同态,则
f(0) = f(0) + f(0),从而f(0) = 0.
记f(1) = q,则由数学归纳法易见对自然数f(n) = n q.
f(-n) + f(n) = f(0) = 0,从而
f(-n) = - f(n) = - nq.
又归纳知 n f(x) = f(n x),从而
f(x) = f(n x) / n.（x是任意有理数）
即对有理数m / n,有
f(m / n) = f(m) / n.
于是
f((m/n) * y) = (m/n) * f(y),
对上式记x = m / n,并取定y = 1,则
f(x) = x f(1) = x q.
由f是单同态,则Ker f = {0},从而q不为0.
容易验证当q为有理数时,f 还是满同态,从而是同构.
综上,Q的自同构就只有f(x) = q x（q不等于0）.

考虑有限群在自身上的共轭作用, 则每个共轭类是一个轨道.
每个轨道的长度都是群的阶数的因子, 这对有限群的群作用都成立.
如果对群作用不熟, 也可以这样考虑:
设群为G, 取定一个元素x∈G.
则G中满足g^(-1)xg = x的元素g构成了G的一个子群H(称为x的中心化子).
若y = a^(-1)xa, 可以验证y = g^(-1)xg当且仅当g∈H的右陪集Ha.
x所在的共轭类的元素一一对应于H的右陪集, 元素个数 = |G|/|H|, 是|G|的因子.

这个命题主要关键词是有限群.你要如果知道有限群的等价定义的证明,这个问题一点都不难.
S是有限群的子集,所以S是有限集合,若S只含e,命题显然成立.
a是S中的元素,a不等于e,因为S封闭,所以a^n（n为正整数）也属于S,因为S有限,故有a^i=a^j,其中i

有限群的话,很简单：
设有限群为G={A0,A1,...,An}其中A0是0元素；
则对此群中的任意元素Ai,定义在此群上的置换
Fi：Aj-->Aj + Ai
现在我们验证下所有的这类置换G'={F0,F1,...,Fn}在置换复合运算( 即(Fi+Fj)(Ak)=Fj(Fi(Ak)) )下构成一个群：
运算封闭性：Fi + Fj属于G':设Ai + Aj = Ak属于G,容易验证Fi + Fj = Fk属于G';
零元素F0: Fi + F0 = Fi:这是显然的因为(Fi+F0)(Aj) = Aj + Ai + A0 = Aj + Ai = Fi(Aj);
交换率:Fi + Fj = Fj + Fi,实际上,如果Ai + Aj = Aj + Ai = Ak(这由原群G的交换率保证）,那么Fi + Fj = Fj + Fi = Fk
结合率：同样易验证(Fi + Fj) + Fk = Fi + (Fj + Fk),由原群G的结合率所保证.
综上,G’是一个（置换）群；
容易看出,G'与G是同构的,同构映射f: Ai --> Fi把0元素映射为0元素,
且f(Ai + Aj) = f(Ai) + f(Aj);
且f是双射：f(Ai) = f(Aj) ==> Fi = Fj ==> Fi(A0) = Fj(A0) ==> A0 + Ai = A0 + Aj ==> Ai = Aj,说明是单射；由定义（或者看G和G'都是n个元素,f又是单射）知是满射；

反设G是无限群,那么分两种情况：（1）如果G中有无限阶元a,那么是无限阶循环群,从而,,...,,...都是G的互不相同的子群,从而G有无限多个子群,矛盾.（2）如果G中没有无限阶元,则G中每个元素都是有限阶的,记S={|x∈G},则|S|也是有限的（否则,如果S是无穷集合,而S中每个元素都是G的子群,从而G有无限多个子群,矛盾）.注意到,G=∪S.这就是说,G是有限个有限集合的并,从而是有限的.

错误命题,不妨考虑群G的两个共轭的西勒子群,设P、Q为群G的两个互不相同的Sylow p-子群,N为P、Q两子群的交由|P*Q|=|P||Q|/|N|可知|N|不为1

错误命题,不妨考虑群G的两个共轭的西勒子群,设P、Q为群G的两个互不相同的Sylow p-子群,N为P、Q两子群的交由|P*Q|=|P||Q|/|N|可知|N|不为1,

考察gHg^{-1}型的子群即可