求F（x）=cos^2（X+pai/6）+√3 sinX*cosX+1的最大值和最小值

sin(x+pai/6)=1/4=sinxcospai/6+sinpai/6cosx=√3/2sinx+1/2cosx
,sin(5/6pai-x)+sin^2(11/6pai-x)=sin5/6paicosx-cos5/6paisinx+sin(2π-π/6-x)稍等

原题：函数f(x)=sinx-cos(x+π/6)的值域为什么是[-√3,√3]?
f(x)=sinx-cos(x+π/6)=sinx-sin(x+2π/3)
=sin[(x+π/3)-π/3]-sin[(x+π/3)+π/3]
=-2cos(x+π/3)sin(π/3)=-√3cos(x+π/3)
其值域是[-√3,√3].
希望对你有点帮助!

cos²(x+π/6)=3/4
cos(x+π/6)=±√3/2
所以x+π/6=2kπ±π/6或x+π/6=2kπ±7π/6
所以x=2kπ-π/3或x=2kπ或x=2kπ+π或x=2kπ-4π/3
所以集合是{x|x=2kπ-π/3或x=2kπ或x=2kπ+π或x=2kπ-4π/3,k∈Z}
如果不懂,祝学习愉快!

sin(π/3-x)
=cos(π/2-(π/3-x))
=cos(x-π/6)
=±√(1-(sin(x-π/6))^2)
=±√(1-(√3/3)^2)
=±√6/3
所以 sin(π/3-x)=√6/3 或者 -√6/3

不好意思,有点忘记了,你看下这2个式子的周期,画出来看看他们是怎么的不同,我记得是x 要怎么怎么移动,y 又要怎么怎么移动之类的,你看看书本

kπ-π/12 kπ+5π/12

y=2sin（x+π/6）
令2kπ+π/2＜x+π/6＜2kπ+3π/2,k∈Z
得2kπ+π/3＜x＜2kπ+4π/3,k∈Z
所以在x∈[-π/3,π/2]上无单调递减区间
如果不懂,祝学习愉快!

f（x）可化为=1/2+根号3 *sin(2x+pai/2)
(2x+pai/2)=π/2时有最大值
1/2+根号3
=1/2+根号3 *sin(2x+pai/3)
然后 (2x+pai/3)=pai/2
然后sin pai/2=1
所以 =1/2+根号3 *1
最小值
当2x+pai/3=pai/6 ,即x=-pai/12时,函数f(x)取得最小值 1/2+根号3/2..
1/2+根号3 *1/2

本题目需要结合图象解决,因此叙述起来不很方便.
f(x)=sin(x+pai/6) 与 sinx 图象比,向左平行移动了 pai/6
其值域为 [-1,1]
lgx 是单调递增函数.在 f(x) 的值域范围内,对应
x ∈[0.1,10]
f(x) 在上述 [0.1,10] 范围内的单调性为
[0.1,pai/3] 单调递增,（其中 pai/3 约为 1.04）
[pai/3,4pai/3] 单调递减,其中 4pai/3 约为 4.18）
[4pai/3,7pai/3] 单调递增,（其中 7pai/3 约为 7.32)
[7pai/3,10] 单调递减
在第一段区间 [0.1,pai/3]
lgx 几乎始终小于0,lg图象与 f(x)图象无交点
[pai/3,4pai/3] 区间段
f(x) 从 1 递减到 -1,lgx 从 约为0 递增到 约 lg4 ,所以二者必然有交点
[4pai/3,7pai/3] 区间段
f(x) 从 -1 单调递增到 1
lgx 从 lg4 单调递增到 约 lg7
因此两函数在此区间有交点.
[7pai/3,10] 区间段
f(x) 从 1 单调递减 到约为 -1
lgx 从 lg7 单调递增到 1
因此 两函数图象有交点.
综上所述
共有3个交点 ,即 3个实数根.
（叙述起来比较麻烦.实际做题目时,可以简化叙述.

-π/6、5π/6和11π/6