P是双曲线x23−y2＝1的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为_____

（1）由已知得双曲线焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，∴
25+7+
1+7=2a，∴a=3
2
而c²=4，∴b²=a²-c²=18-4=14
∴所求椭圆方程为
x2
18+
y2
14=1
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），由

QM=

MP得（x，y-2）=（x₀-x，y₀-y）
∴

x0=2x
y0=2y-2而P（x₀，y₀）在椭圆
x2
18+
y2
14=1上
即
(2x)2
18+
(2y-2)2
14=1
即
2x2
9+
2(y-1)2
7=1为所求M的轨迹方程．

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；轨迹方程．

考点点评： 本题的考点是椭圆的标准方程，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是利用向量关系，寻求动点之间的坐标关系．

双曲线
x2
3-y²=1的右焦点为（2，0），∴抛物线方程为y²=8x，p=4．
∵|AF|=3，∴x_A+2=3，∴x_A=1
代入抛物线方程可得y_A=±2
2
∵点A在x轴上方，∴A（1，2
2），
∴直线AB斜率等于
2
2
1−2=-2
2．
故答案为：4，-2
2．

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

由题意知F₁（-2，0），F₂（2，0），
解方程组


x2
6+
y2
2＝1

x2
3−y2＝1得

x2＝
9
2
y2＝
1
2取P点坐标为（
3
2
2，

2
2），

PF1＝(−2−
3
2
2，−

2
2)，

PF2＝(2−
3
2
2，−

2
2)
cos∠F₁PF₂=
(−2−
3
2
2)• (2−
3
2
2)+
1
2

(−2−
3
2
2)2+
1
2•
(2−
3
2
2)2+
1
2=[1/3]
故选B．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

双曲线
x2
3−y2＝1的左焦点为（-2，0）
∵抛物线y²=-2px（p＞0）的焦点与双曲线
x2
3−y2＝1的左焦点重合，
∴
p
2＝2
∴p=4
故答案为：4

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查抛物线的标准方程，属于中档题．

由题意，双曲线
x2
3−y2＝1的右焦点为（2，0）
∴抛物线的焦点坐标为（2，0）
设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）
∴[p/2]=2，∴p=4，
∴抛物线方程是 y²=8x．
故答案为：y²=8x．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质及抛物线的标准方程，解题的关键是由双曲线的焦点坐标得出抛物线的焦点坐标．属于基础题．

由题意，双曲线
x2
3−y2＝1的右焦点为（2，0）
∴抛物线的焦点坐标为（2，0）
设抛物线的方程为：y²=2px（p＞0）
∴[p/2]=2，∴p=4，
∴抛物线方程是 y²=8x．
故答案为：y²=8x．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；抛物线的标准方程．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质及抛物线的标准方程，解题的关键是由双曲线的焦点坐标得出抛物线的焦点坐标．属于基础题．

双曲线
x2
3−y2＝1的两个焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0）
设P的坐标为（x，y），则
∵△F₁PF₂的面积为2
∴[1/2×4×|y|＝2
∴|y|=1，代入双曲线方程解得|x|=
6]
∴

PF1•

PF2=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=3
故选B．

点评：
本题考点： 双曲线的应用．

考点点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查向量的数量积运算，确定P的坐标是关键．

∵双曲线的方程为
x2
3-y²=1，
∴a²=3，b²=1可得c=2
因此，双曲线的左焦点坐标为F（-2，0）
∵抛物线y²=2ax的焦点与双曲线
x2
3-y²=1的左焦点重合，
∴-[a/2]=2，解之得a=4
故选：B．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题给出抛物线与已知双曲线有公共的焦点，求抛物线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

抛物线的焦点F为（[p/2]，0），
双曲线
x2
3-y²=1的右焦点F₂（2，0），
由已知得[p/2]=2，
∴p=4．
故答案为4

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．属基础题．

双曲线的标准形式为
x2
3−y2＝1，
其渐近线方程是
x2
3−y2＝0，
整理得双曲线的渐近线为：x±
3y=0．
由共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），可设椭圆方程为
y2
a2+
x2
b2＝1，
点P（2，3）在椭圆上，



4
a2+
9
b2＝1
a 2−b 2＝4，
∴a²=16，b²=12，
所以椭圆方程为：
y2
16+
x2
12＝1．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查本题考查双曲线的标准方程，以及椭圆的标准方程的求法，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．

∵双曲线的方程为
x2
3−y2＝1，
∴a²=3，b²=1，得c=2，
∴双曲线的右焦点为F（2，0），也是抛物线的焦点
设抛物线方程为y²=2px，（p＞0），则[p/2]=2，得2p=8
∴抛物线方程是y²=8x．
故答案为：y²=8x．

点评：
本题考点： 抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合，求抛物线的标准方程，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

由于双曲线C与双曲线有
x2
3−y2=1相同的渐近线，
则可设C的方程是
x2
3−y2=λ（λ≠0），
又过点A（
3，-3），则λ=-8，
即C的方程是
y2
8−
x2
24＝1．
故答案为：
y2
8−
x2
24＝1．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

∵双曲线
x2
3-
y2
n−12=1的离心率是
3，
∴e²=[3+n−12/3]=3
∴n=18，
故答案为：18．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查了双曲线的标准方程及其几何性质，属基础题

（Ⅰ）由双曲线
x2
3−y2＝1得，a²=3，b²=1，
所以c²=a²+b²=3+1=4，所以c=2．
则[p/2＝2，p＝4．
所以抛物线的方程为y²=8x；
（Ⅱ）由题意知，a＝
3，b＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±

3
3x，
抛物线的准线方程为x=-2．
代入双曲线的准线方程得y＝±
2
3
3]．
设抛物线的准线与双曲线的准线的交点为A，B．
则|AB|=
4
3
3．
所以抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为：
S=
1
2×
4
3
3×2＝
4
3
3．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评： 本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，两圆锥曲线的关系问题是高考常见题型，解答的关键是合理运用所涉及的量，
此类问题往往具有较复杂的运算量，考查学生的计算能力，此题是中档题．

∵双曲线
x2
3−y2＝1中a²=3，b²=1
∴c=
a2+b2=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）
因此抛物线y²=2px的焦点（[p/2]，0）即F（2，0）
∴[p/2]=2，即p=4
故选B

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点与抛物线焦点重合，求抛物线的焦参数，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的标准方程等知识，属于基础题．

（1）∵双曲线-y²=1的离心率为
2
3
3，
∴椭圆的离心率为

3
2．
又∵b=1，∴a=2．
∴椭圆的方程为
x2
4+y²=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
由

y＝kx+1

x2
4+y2＝1得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x₁+x₂=-[8k
1+4k2，x₁•x₂=0．
∵
/OM]=[1/2]

OA+

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．

（1）由已知得双曲线焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的定义得|AF₁|+|AF₂|=2a，∴
25+7+
1+7＝2a，∴a＝3
2
而c²=4，∴b²=a²-c²=18-4=14
∴所求椭圆方程为
x2
18+
y2
14＝1
（2）设M（x，y），P（x₀，y₀），由

QM＝

MP得（x，y-2）=（x₀-x，y₀-y）
∴

x0＝2x
y0＝2y−2而P（x₀，y₀）在椭圆
x2
18+
y2
14＝1上
即

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；轨迹方程．

考点点评： 本题的考点是椭圆的标准方程，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是利用向量关系，寻求动点之间的坐标关系．

由题意知F₁（-2，0），F₂（2，0），
解方程组


x2
6+
y2
2＝1

x2
3−y2＝1得

x2＝
9
2
y2＝
1
2，
取P点坐标为（
3
2
2，

2
2），

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，属基础题．

根据题意，当直线MA与双曲线相切于点A，直线MB与双曲线相切于点B时，
∠AMB取得最大值．
设直线AM方程为y=k（x-1），与双曲线消去y，得
（[1/3]-k²）x²+2k²x-k²-1=0
∵直线MA与双曲线相切于点A，
∴（2k²）²-4×（[1/3]-k²）×（-k²-1）=0，解之得k=

2
2（舍负）
因此，直线AM方程为y=

2
2（x-1），
同理直线BM方程为y=-

2
2（x-1），
设直线AM倾斜角为θ，得tanθ=

2
2，且∠AMB=2θ
∴cos2θ=
1−tan2θ
1+tan2θ=
1−
1
2
1+
1
2=[1/3]，即为∠AMB最大时的余弦值
故选：D

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；余弦定理．

考点点评： 本题给出双曲线方程和点M（1，0），求双曲线右支上两点A、B对M的最大张角的余弦之值，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题．

∵双曲线
x2
3-y²=1，
∴c=
3+1=2，
∴双曲线的右焦点为：（2，0），
设抛物线的标准方程为y²=2px，
则[p/2]=2，p=4
∴抛物线标准方程为y²=8x，
故选C．

点评：
本题考点： 抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的标准方程问题．较为基础，属基础题．

∵双曲线
x2
3−y2＝1中a²=3，b²=1
∴c=
a2+b2=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）
因此抛物线y²=2px的焦点（[p/2]，0）即F（2，0）
∴[p/2]=2，即p=4
故选B

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点与抛物线焦点重合，求抛物线的焦参数，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的标准方程等知识，属于基础题．

∵双曲线
x2
3−y2＝1中a²=3，b²=1
∴c=
a2+b2=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）
因此抛物线y²=2px的焦点（[p/2]，0）即F（2，0）
∴[p/2]=2，即p=4
故选B

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点与抛物线焦点重合，求抛物线的焦参数，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的标准方程等知识，属于基础题．

（1）由题意，可设椭圆的方程为
x2
a2+
y2
2＝1(a＞
2)．
由双曲线
x2
3-y²=1可得c²=3+1=4，解得c=2．
由已知得

a2−c2＝2
c＝2，解得a＝
6，c=2．
∴椭圆的方程为
x2
6+
y2
2=1．
（2）由题意可得A（3，0）．设直线PQ的方程为y=k（x-3）．
联立

y＝k(x−3)
x2+3y2＝6，化为（3k²+1）x²-18k²x+27k²-6=0．
依题意△=324k²-4（3k²+1）（27k²-6）＞0，得−

6
3＜k＜

6
3．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由将y=kx+
2代入双曲线
x2
3-y²=1消去y得（1-3k²）x²-6
2kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1−3k2≠0
△＝(−6
2k)2+36(1−3k2)＝36(1−k2)＞0
即k²≠[1/3]且k²＜1．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则x_A+x_B=
6
2k
1−3k2，x_Ax_B=
−9
1−3k2．
由

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题主要考查直线和双曲线的位置关系，利用直线和双曲线联立转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．

∵双曲线
x2
3−y2＝1中a²=3，b²=1
∴c=
a2+b2=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）
因此抛物线y²=2px的焦点（[p/2]，0）即F（2，0）
∴[p/2]=2，即p=4
故选B

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点与抛物线焦点重合，求抛物线的焦参数，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的标准方程等知识，属于基础题．

（1）由已知得双曲线焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0），由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a，∴25+7+1+7=2a，∴a=32而c2=4，∴b2=a2-c2=18-4=14∴所求椭圆方程为x218+y214=1（2）设M（x，y），P（x0，y0），由QM=MP得（...

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；轨迹方程．

考点点评： 本题的考点是椭圆的标准方程，考查待定系数法求椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，解题的关键是利用向量关系，寻求动点之间的坐标关系．

∵F₁、F₂分别为双曲线
x2
3-y²=1的左、右焦点，
∴F₁（-2，0），F₂（2，0）；
又点P在双曲线上，且PF₂⊥x轴，
∴点P的横坐标为2，纵坐标y₀=±

4
3−1=±

3
3．
∴P（2，±

3
3）．
∴直线PF₁的方程为：
3x±12y+2
3=0．
∴F₂到直线PF₁的距离d=
|
3×2±12×0+2
3|
7

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的简单性质，考查直线的方程的确定与点到直线间的距离，求得直线PF1的方程是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

由双曲线
x2
3-
y2
4=1的可得：a²=3，b²=4，∴c²=a²+b²=7，
∴两条准线方程分别为x=±
a2
c，即x=±
3

7，化为x=±
3
7
7．
故两条准线之间的距离=2×
3
7
7=
6
7
7．
故答案为
6
7
7．

点评：
本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质是解题的关键．

双曲线的标准形式为
x2
3−y2＝1，
其渐近线方程是
x2
3−y2＝0，
整理得双曲线的渐近线为：x±
3y=0．
由共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），可设椭圆方程为
y2
a2+
x2
b2＝1，
点P（2，3）在椭圆上，



4
a2+
9
b2＝1
a 2−b 2＝4，
∴a²=16，b²=12，
所以椭圆方程为：
y2
16+
x2
12＝1．

点评：
本题考点： 圆锥曲线的共同特征．

考点点评： 本题考查本题考查双曲线的标准方程，以及椭圆的标准方程的求法，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．

抛物线的焦点坐标为（0，[p/2]），准线方程为：y=-[p/2]，
准线方程与双曲线联立可得：
x2
3-
(-
p
2)2
3=1，
解得x=±
3+
p2
4，
因为△ABF为等边三角形，所以
p2+x2=2|x|，即p²=3x²，
即p2=3(3+
p2
4)，解得p=6．
故答案为：6．

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．

∵双曲线
x2
3−y2＝1中a²=3，b²=1
∴c=
a2+b2=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）
因此抛物线y²=2px的焦点（[p/2]，0）即F（2，0）
∴[p/2]=2，即p=4
故选B

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点与抛物线焦点重合，求抛物线的焦参数，着重考查了双曲线的基本概念和抛物线的标准方程等知识，属于基础题．